SOLUCIONES EJERCICIOS DERIVADAS

SOLUCIONES

EJERCICIOS DERIVADAS

Ejercicio nº 1.-

Calcula  f '(2),  utilizando la definición de derivada, siendo:

f (x) = 2x2 + 5x

Solución:

[pic 1]

[pic 2]

Ejercicio nº 2.-

Halla la ecuación de la recta tangente a la curva  f (x) = 2x2 - 3x + 1,  que es paralela a la recta  2x + 3y - 1 = 0.

Solución:

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

∙        Ordenada en el punto:

[pic 6]

∙        Ecuación de la recta tangente:

[pic 7]

Ejercicio nº 3.-

Considera la función:

f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1

a)        Estudia su crecimiento y halla sus máximos y mínimos.

b)        Estudia su curvatura y obtén sus puntos de inflexión.

Solución:

a)        f '(x) = 6x2 + 18x + 12

f '(x) = 0   →   6 (x2 + 3x + 2) = 0

[pic 8]

∙        Signo de  f '(x):

[pic 9]

f (x)  es creciente en  (-∞, -2) ∪ (-1, +∞);  es decreciente en  (-2, -1). Tiene un máximo en  (-2, -3) y un mínimo en  (-1, -4).

b)        f ''(x) = 12x +18

[pic 10]

∙        Signo de  f ''(x):

[pic 11]

[pic 12]

[pic 13]

Ejercicio nº 4.-

[pic 14]

b)        Con el resultado obtenido, calcula  f '(2).

Solución:

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

Ejercicio nº 5.-

Escribe las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva  f (x) = 4x3 - 2x + 1  que son paralelas a la recta  y = 10x + 2.

Solución:

∙        Si son paralelas a la recta  y = 10x + 2,  tienen la misma pendiente; es decir, ha de ser:

f '(x) = 10

[pic 18]

∙        Ordenadas en los puntos:

f (-1) = -1;   f (1) = 3

∙        Ecuaciones de las rectas tangentes:

-        En  x = -1   →   y = -1 + 10 (x + 1)   →   y = 10x + 9

-        En  x = 1   →   y = 3 + 10 (x - 1)   →   y = 10x - 7

Ejercicio nº 6.-

Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:

f (x) = (x -2)2 (x + 1)

Di dónde es creciente, decreciente, cóncava y convexa.

Solución:

∙        Derivada:

f '(x) = 2 (x - 2) (x + 1) + (x - 2)2 = (x - 2) [2 (x + 1) + x - 2] =

= (x - 2) (2x + 2 + x - 2) = 3x (x - 2) = 3x2 - 6x

[pic 19]

∙        Signo de  f '(x):

[pic 20]

f (x)  es creciente en  (-∞, 0) ∪ (2, +∞);  es decreciente en  (0, 2). Tiene un máximo en  (0, 4) y un mínimo en  (2, 0).

∙        Segunda derivada:

f ''(x) = 6x - 6

f ''(x) = 0   →   6x - 6 = 0   →   x = 1

...