SUMATORIAS

Sumatorias

1. Definiciones Recursivas

Una definicion recursiva de una serie de nu´meros naturales es una definici´on dada en base de los nu´meros anteriores. Es decir, para saber el t´ermino n-´esimo hay que saber todos los nu´meros anteriores.

Ejemplo: Funci´on Factorial El factorial de un nu´mero es la multiplicaci´on de todos los nu´meros naturales anteriores a ´el. Recordemos que los nu´meros naturales parten desde el 0, pero por definici´on 0! = 1, por lo que la funci´on factorial suele hacerse hasta el 1. Podemos definir el factorial de un nu´mero n como

n! = n · (n − 1)!,

es decir, como la multiplicaci´on del nu´mero por el factorial del nu´mero anterior.

Por ejemplo,

Entonces nos devolvemos:

As´ı, 5! = 120

________________

5! = 5 · 4!

4! = 4 · 3!

3! = 3 · 2!

2! = 2 · 1 = 2

3! = 3 · 2 = 6

4! = 4 · 6 = 24

5! = 5 · 24 = 120

La definici´on formal de la funci´on factorial en forma recursiva entonces es

an = n · an−1.

2. Sumatorias

Una sumatoria en pocas palabras es una forma abreviada de escribir una suma. Se escribe con la letra griega sigma y tiene ´ındices arriba y abajo de ´esta que indican desde d´onde y hasta d´onde recorre la suma. Por u´ltimo tiene un nu´mero al lado que representa el factor a sumar.

Ejemplo 1

5

j

j=1

quiere decir que se suma j desde 1 (el sub´ındice) hasta 5 (el super´ındice), con el 5 incluido. Esto sin abreviar se escribir´ıa simplemente

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.

Y como sabemos el resultado de la suma, se escribe de la forma

5

j = 15.

j=1

La gracia de la sumatoria es que permite escribir sumas mucho m´as largas que ´esta de una forma mucho m´as corta. Adem´as, el factor de la suma puede ser cualquiera.

Ejemplo 2:

n

j

quiere decir

________________

1 1 1

________________

j=1

1 1 1

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + · · · + n

En ´este caso n es un nu´mero fijo, pero puede ser cualquier nu´mero natural.

Ahora la definici´on formal de sumatoria:

Def: Considere una colecci´on {a1, a2, ..., an} de nu´meros reales. Definimos el s´ımbolo Sumatoria, hasta n ∈ N por

n

aj

j=1

usando la siguiente recursividad

1

j=1

________________

aj = a1

2. Σn+1 aj = Σn

________________

aj + an+1, ∀n ∈ N

OBS: Σn aj = a1 + a2 + · · · + an

Es importante notar que, de no ser que hayan par´entesis, la sumatoria s´olo actu´a sobre el primer t´ermino que aparece a su derecha. Es decir si tenemos la sumatoria

5

j + 3,

j=1

representa (1 + 2 + 3 + 4 + 5) + 3 y no (1 + 3) + (2 + 3) + (3 + 3) + (4 + 3) + (5 + 3), pues claramente no son lo mismo.

1. Propiedades

n j=1

________________

1 = n, se suma 1, n veces.

n j=1

________________

kaj = k Σn aj, saca factores, que no dependan del ´ındice j de la sumatoria.

n j=0

________________

k = (n + 1)k, como el ´ındice j no est´a dentro de la sumatoria, el t´ermino j = 0 tambi´en cuenta

como la suma de k una vez.

n j=1

________________

(j + 2j ) = Σn

________________

n j=1

________________

2j, separa la suma.

2. Ejercicios

1. Escriba en forma de sumatoria las siguientes sumas:

1. S = 1 + 11 + 111 + · · · + 111..,1, donde el u´ltimo t´ermino consiste de n unos.

b) S = 1 + 22 + 33 + · · · + n .

c) La suma de los primeros 100 mu´ltiplos de 2.

2. Calcule:

j=0 25

j=1 81

3. Separe las sumatorias en la mayor cantidad de ellas, utilizando las propiedades:

n j=1

n j=1

________________

3(2 + 2j )

8 .(j + 2j ) + 15 Σ

3. Progresiones y f´ormulas

Progresi´on Aritm´etica: De primer t´ermino a y diferencia d. Se define recursivamente de la forma:

a1 = a

an+1 = an + d ∀n ∈ N

De esta forma, si anlisamos los t´erminos, son:

a1 = a

a2 = a1 + d = a + d a3 = a2 + d = a + 2d

.

etc.

Ahora podemos definir una f´ormula para el t´ermino general, y no s´olo una definici´on recursiva. Notamos entonces que el t´ermino general es

an = a + (n − 1)d.

La sumatoria de esta progresi´on hasta un nu´mero natural fijo se escribe entonces de la forma

n n

Σ aj = Σ(a + (j − 1)d).

Para saber el resultado de ´esta suma para cualquier natural n, es necesario que sepamos antes la suma de los

n primeros nu´meros naturales. Esta suma es:

n

= 2

j=1

Podemos comprobarla sumando hasta 5, que sabemos que da 15, entonces probamos: en este caso n = 5, segu´n la f´ormula ser´ıa entonces

5(5 + 1) = 5 · 6 = 15.

2 2

De modo que la f´ormula est´a bien.

Ahora podemos resolver la suma de la progresi´on geom´etrica utilizando esta f´ormula, y las propiedades de arriba:

n n n

Σ(a + (j − 1)d) = Σ a + Σ(j − 1)d

j=1

________________

j=1

________________

j=1 n

= a · n + d (j − 1)

j=1

n

= a · n + d j −

j=1

________________

...