Teoría de conjunto

Teoría de conjunto

Es una colección de objetos u elementos bajo una condición o dentro de un objeto más grande. Los conjuntos se pueden definir únicamente por sus elementos y dentro de ellos se pueden realizar varias operaciones por ejemplo:

A= {a, e, i, o, u} por extensión     |  A= {vocales} por comprensión

Un conjunto se entiende por extensión cuando enumeramos todos los elementos que pertenecen a él y por comprensión cuando debemos definir a la propiedad que lo caracteriza.

Operaciones con conjuntos

Unión: es el conjunto formado por los elementos que pertenecen A y AB es decir, también pueden definirse a los que pertenecen  AB y no A. Un ejemplo seria:

A= {1, 2, 3}[pic 1]

B= {3, 4, 5}        la unión de estos dos conjuntos seria  AUB= {1, 2, 3, 4, 5}

Intersección: es el conjunto formado por elementos que pertenecen A y pertenecen AB. Los que se quiere decir es que la intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto AnB que contiene todos los elementos comunes de A y B. Por ejemplo:  

A= {1, 2, 3}[pic 2]

B= {3, 4, 5}      la intersección entre A    B seria A    B= {3}, es decir, lo que comparten los dos conjuntos.[pic 3][pic 4]

Inclusión: cuando existe un conjunto A y otro conjunto B y ocurre que todos los elementos de A pertenecen a AB se dice que A esta incluido en B.

Conjunto Universal: es el elemento absorbente de la unión y el elemento neutro de la intersección, es decir, Es el conjunto que contiene, comprende o dentro del cual están todos los demás conjuntos, se le simboliza por letra U, gráficamente se le representa mediante un rectángulo en cuyo vértice (uno cualquiera) se coloca la letra U.

[pic 5]

Diagrama de Venn: Consiste en graficar mediante círculos, elipses, rectángulos, u otras figuras geométricas de área plana, cada uno de los conjuntos con los que se labora. Generalmente los puntos interiores a un rectángulo representan al conjunto del sistema.

Ejemplo:

A = {a, b, c, d}

B = {c, a, d}

C = {a, d}

[pic 6]

Funciones:

Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio.

Para que sea una función debe cumplir con dos condiciones:

La primera condición es la de existencia, que significa que cada elemento del dominio de la relación debe estar relacionado con un elemento del conjunto de llegada de la relación.

Formalmente se define así: Sea f una relación de dominio A y de conjunto llegada B. Si cumple la condición de existencia, entonces para todo x de A, existe un y tal que (x, y) es elemento de F.

La segunda condición es la de unicidad, implica que cada elemento de A está relacionado con solo un elemento de B.

Se define así: Si (x, y) elemento de f y (x, z) elemento de f, implica que y=z. O sea, un elemento x de A no puede estar relacionado con dos elementos distintos de B. 

Clasificación de la Función:

Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo te dan información sobre el comportamiento de una función.

Puedes entender una función como una manera de conectar elementos de un conjunto "A" a los de otro conjunto "B":

[pic 7]

Inyectivo significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A").

Sobreyectivo significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno).

Biyectivo significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos.

Función Inversa: solo la función biyectiva admite función inversa. Generalmente escrita como f -1, que invierte exactamente la representación producida por una función f dada.

Ejemplo: Y= 2x -3 = f(x)

               Y= 3 = 2x

             Y 3/2 = x = f -1(x)

Función lineal: la función lineal esta dad por la siguiente formula y= ax + b donde A es la pendiente y B la ordenada al origen. Ósea es el valor donde la recta corta el eje de Y.

La pendiente nos determina si una función es creciente, decreciente o constante y está dado por los siguientes casos.

[pic 8] 

Funciones Paralela y Perpendicular:

Si dos rectas son paralelas, tienen la misma inclinación, por lo tanto sus pendientes son iguales.

[pic 9]

Dos rectas son perpendiculares, si y solo si el producto de las pendientes es -1.

[pic 10]

Función Cuadrática: Para una función cuadrática y = ax2 + bx + c, la coordenada x del vértice es siempre. Como el eje de simetría siempre pasa por el vértice, significa que el eje de simetría es una línea vertical. Cambia los valores de a y b en la gráfica siguiente para ver dónde están el vértice y la línea de simetría. Su grafico siempre es una parábola.

[pic 11]

Sus elementos destacados son:

• Raíces
• Eje de simetría
• Vértice

Raíces: Las raíces de una función cuadrática son los valores de x cuando la función es igual a cero. En otras palabras son los valores de x donde la parábola intersecta el eje x, también puedes encontrar las raíces con el nombre de soluciones o ceros. Generalmente para encontrar las raíces, podemos factorizar la función o bien utilizar la fórmula de Baskara, que tiene la siguiente forma. [pic 12]

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