Trabajo colaborativo de sistemas de ecuaciones lineales

TRABAJO COLABORATIVO 2

ALGEBRA LINEAL

ASTRID CAROLINA GONZALEZ COD.53.160.014

DONOVAN ALEXIS TELLEZ COD. 1.099.548.012

NATHALIA RUEDA COD. 37.555.612

NORMA ROCIO CASTELLANOS

TUTOR

IVAN FERNANDO AMAYA

GRUPO 100408_28

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA

ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES, ECONÓMICAS Y DE NEGOCIOS

JULIO DE 2015

INTRODUCCION

Los sistemas de ecuaciones lineales cuentan con una gran aplicación en el campo de las ingenierías, la ciencia y la tecnología e incluso en la administración.

Por esta razón, el estudio de áreas como el Algebra lineal, son de gran importancia para el total desarrollo de nuestras carreras.

Hay que tener en cuenta que el área de las matemáticas a través de los tiempos ha sido el eje fundamental para el desarrollo de la ciencia y la tecnología, ya que esta brinda las herramientas necesarias para realizar los valiosos aportes que se han realizado a la humanidad.

Es por ello que en el siguiente trabajo veremos algunos de los temas más relevantes respecto al algebra lineal  como lo son la solución de ecuaciones lineales y algunos métodos para su desarrollo.

1.    Utilice el método de eliminación de Gauss – Jordán, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguientes sistemas lineales:

1.1

 [pic 1]

[pic 2]

[pic 3]

Matriz ampliada:

[pic 4]

Realizamos las operaciones necesarias para llevar la parte izquierda de la matriz a la forma de matriz identidad:

[pic 5]

[pic 6]

[pic 7]

[pic 8]

[pic 9]

Solución:

; ; [pic 10][pic 11][pic 12]

Comprobemos:

Ecuación 1:

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Ecuación 2:

[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

Ecuación 2:

[pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

1.2

 [pic 30]

[pic 31]

Matriz ampliada:

[pic 32]

Llevamos la parte izquierda de la matriz a la forma escalonada reducida:

[pic 33]

[pic 34]

[pic 35]

[pic 36]

[pic 37]

[pic 38]

Sistema resultante:

[pic 39]

[pic 40]

El sistema tiene soluciones infinitas ya que  y  son variables libres. Entonces:[pic 41][pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

Una solución particular es si por ejemplo , entonces:[pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

[pic 48]

[pic 49]

[pic 50]

[pic 51]

Luego:

[pic 52]

2.        Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el método que prefiera para hallar [pic 53]).

        [pic 54]

R/

Se pasa el sistema de ecuaciones a forma de matriz:

 ; ; [pic 55][pic 56][pic 57]

A*X=B, despejando X queda: X=A-1*B

La matriz inversa se obtiene con la fórmula:

[pic 58]

Se halla el determinante de la matriz:

[pic 59]

usando el método de Sarrus se hacen las multiplicaciones de las diagonales

= 1(-1)(1) + (-1)(3)(-1) + (-1)(3)(0) – (-1)(-1)(-1) – (1)(3)(0) – (-1)(3)(1)[pic 60]

= -1 + 3 + (0) – (-1) – 0 – (-3)[pic 61]

=6. [pic 62]

Como es diferente de 0 entonces existe la inversa.

Se halla la matriz de cofactores:

[pic 63]

[pic 64]

Luego se halla la traspuesta de la anterior:

[pic 65]

[pic 66]

[pic 67]

[pic 68]

Reemplazando:

X=A-1*B

[pic 69]

[pic 70]

[pic 71]

Entonces x=1; y=1; z=0

3. Encuentre las ecuaciones simétricas y paramétricas de la recta que:

3.1 Contiene los puntos R= (-6, 6,1) y Q=  (-10, 2,-3)

Solución

La recta requerida es paralela a las representaciones del vector

[pic 72]

  Ecuaciones simétricas[pic 73]

[pic 74]

3.2) contiene a P = (-5,0, -8)= y es paralela a la recta

[pic 75]

[pic 76]

...