Transformaciones Lineales ¿Qué son las transformaciones lineales?

Transformaciones Lineales

¿Qué son las transformaciones lineales?

En primer lugar, una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su condominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales V y W, y una función que va de V a W. o sea, una regla de asignación que transforma vectores de V en vectores de W. Pero no toda función que transforme vectores de V en vectores de W es una transformación lineal.

Las Trasformaciones Lineales deben cumplir algunas condiciones

[pic 1]

1era Condición.

[pic 2]

Esta condición nos dice que T(u+v) tiene que ser Igual a T(u) + T(v)

T = es una transformación  

u y v = representan los vectores

En otras palabras, quiere decir que Transformando(T) a u + v nos debe dar igual que si Transformamos(T) u y v por separados y seguidamente hacemos las suma de estos nos darán el mismo resultado.

A continuación, observaremos lo antes mencionado, explicando y mostrando de manera gráfica y clara.

[pic 3]

Se puede observar cómo nuestros vectores u y v tiene sus respectivos componentes que los conforman, hacienda la expresión de su sumatoria nos quedaría un resultado donde estén sumados entre ellos de manera correcta.

[pic 4] 

Aquí nos indica que el resultado de la sumatoria de nuestros vectores Transformándolos debe ser igual que Transformando cada vector por separados y sumarlos al final.

2da Condicion

[pic 5]

Esta condición nos dice que T(av) = aT(v)

T = es una transformación  

u y v = representan los vectores

a = Escalar (Un número que multiplica)

Se dice que debe ser exactamente lo mismo que Transformar el vector escalado a Transformar primero el vector y luego escalarlo

De ejemplo témenos esta transformación líneal

[pic 6] [pic 7]

Primeramente escalaremos de manera sencilla el vector con nuestro escalar como a continuacion

[pic 8]

Recordando a nuestra transformación lineal y nuestro avance, simplemente hay que sustituir sus valores correspondientes según al producto deseado a llegar

[pic 9][pic 10]

Nos quedaría de la siguiente manera

[pic 11]

 (el producto de la izquierda es el mismo del de la derecha pero son parentesis)

Una vez dado cuenta que hay terminos comunes y se puede factorizar, realizaremos dicha factorizacion que seria la de a(alfa)

[pic 12]

Al final nos quedaría una expresión así

[pic 13]

Ahora si nos damos cuenta nos quedan expresiones iguales a la condición mencionada [pic 14] [pic 15]

Se puede demostrar que no importa si escalamos el vecrtor antes o despues nos dara el mismo resultado eso quiere decir que es una transformacion lineal

Conclusion

Para concluir la actividad se puede decir que las trandormaciones lineales se asimilan demasiado a las funciones de Calculo Diferencial, practicamente se puede explicar de la misma manera usado el Dominio y Contradominio, lo que se conoce como funcion en Calculo en Algebra Lineal se le puede decir Trasformacion, usando eso a nuestro favor podemos convertir vectores R2 a R3 de una manera que no sabia, yo pensaba que no ser podian mezclar de ninguna manera, es curioso saber esto pero como era de esperarse no es tan facil por que requiere ciertas condiciones para poder realizace que resulta ser lo mas curioso e interesenta pero al final no es tan dicil de demostrar las condicoones puede ser un poco confuso si manejas todo de manera con excpresiones algebraica pero con un buen ejemplo con verdaderos valores es mas facil de entender.

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