Transformaciones Lineales ¿Qué son las transformaciones lineales?

Transformaciones Lineales

¿Qué son las transformaciones lineales?

En primer lugar, una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su condominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales V y W, y una función que va de V a W. o sea, una regla de asignación que transforma vectores de V en vectores de W. Pero no toda función que transforme vectores de V en vectores de W es una transformación lineal.

Las Trasformaciones Lineales deben cumplir algunas condiciones

[pic 1]

1era Condición.

[pic 2]

Esta condición nos dice que T(u+v) tiene que ser Igual a T(u) + T(v)

T = es una transformación  

u y v = representan los vectores

En otras palabras, quiere decir que Transformando(T) a u + v nos debe dar igual que si Transformamos(T) u y v por separados y seguidamente hacemos las suma de estos nos darán el mismo resultado.

A continuación, observaremos lo antes mencionado, explicando y mostrando de manera gráfica y clara.

[pic 3]

Se puede observar cómo nuestros vectores u y v tiene sus respectivos componentes que los conforman, hacienda la expresión de su sumatoria nos quedaría un resultado donde estén sumados entre ellos de manera correcta.

[pic 4] 

Aquí nos indica que el resultado de la sumatoria de nuestros vectores Transformándolos debe ser igual que Transformando cada vector por separados y sumarlos al final.

2da Condicion

[pic 5]

Esta condición nos dice que T(av) = aT(v)

T = es una transformación  

u y v = representan los vectores

a = Escalar (Un número que multiplica)

Se dice que debe ser exactamente lo mismo que Transformar el vector escalado a Transformar primero el vector y luego escalarlo

De ejemplo témenos esta transformación líneal

[pic 6] [pic 7]

Primeramente escalaremos de manera sencilla el vector con nuestro escalar como a continuacion

[pic 8]

Recordando a nuestra transformación lineal y nuestro avance, simplemente hay que sustituir sus valores correspondientes según al producto deseado a llegar

[pic 9][pic 10]

Nos quedaría de la siguiente manera

[pic 11]

 (el producto de la izquierda es el mismo del de la derecha pero son parentesis)

Una vez dado cuenta que hay terminos comunes y se puede factorizar, realizaremos dicha factorizacion que seria la de a(alfa)

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