Trigonometria

1. FUNCIONES RACIONALES

Una función racional es f(x)=P(x)/Q(x), donde el numerador y el denominador son formas polinómicas y f(x) es irreducible.

Para analizar una función racional debemos tener en cuenta las siguientes características observables:

• El dominio está formado por los valores de R excepto los que anulan el denominador.

• Para cada valor de x que anula el denominador tenemos una asíntota vertical: Q(a)=0 x=a es una asíntota vertical de f(x).

• Si x=a es una raíz simple de Q(x)=0, las ramas laterales de la asíntota x=a tienen sentidos distintos, una hacia + y la otra a -. Si x=a es una raíz doble, ambas ramas van o hacia + o hacia -.

• Si el grado de P(x) es una unidad mayor que el grado de Q(x) existe una asíntota oblicua, la misma, tanto si x como si x 

• Si P(x) y Q(x) tienen el mismo grado, hay una asíntota horizontal en y=m/n siendo m y n los coeficientes respectivos de mayor grado de P(x) y Q(x).

• Si el grado de P(x) es menor que el de Q(x), hay una asíntota horizontal en y=0.

• Podemos encontrar puntos singulares y puntos de inflexión.

En el programa siguiente se puede ir siguiendo el proceso constructivo de la función f(x)=x3/(x2-1) que es analizada en el ejemplo 1.

Variando el parámetro paso de 1 a 7 irán apareciendo en la escena los distintos elementos necesarios para poder dibujar la gráfica:

Paso 1: Dominio

Paso 2: Simetría

Paso 3: Cortes con los Ejes coordenados

Paso 4: Regiones

Paso 5: Asíntotas

Paso 6: Puntos singulares y de inflexión.

Paso 7: Trazado de la curva

Obsérvese que no es necesario analizar los intervalos de crecimiento y decrecimiento a través del signo de la derivada, ya que al disponer de las regiones, las asíntotas y los puntos de máximo, mínimo y de inflexión, estos se deducen fácilmente:

x () () ()

f(x) CRECE DECRECE CRECE

Los intervalos de concavidad y convexidad también se deducen fácilmente a partir de los elementos obtenidos.

x () (-1,0) (0,1) (1,)

f(x) CÓNCAVA CONVEXA CÓNCAVA CONVEXA

Obsérvese cómo la curvatura cóncava o convexa cambia en el punto de inflexión o en los de discontinuidad.

Ejemplo analizado 1:

Analizar y representar la función f(x)=x3/(x2-1)

a) Dominio: La función no esta definida para x2-x-6=0 -> x=-2, x=3. Df=R- {-1,1}

b) Simetría: La función es Impar pues f(-x)=-f(x), por lo que es simétrica respecto del origen (0,0)

c) Cortes con los ejes:

• Eje OX: f(x)=0 <-> x3=0 -> x=0

• Eje OY: f(0)=0 -> y=0

d) Regiones:

x (-,-1) (-1,0) (0,1) (1,+)

x3 - - + +

x+1 - + + +

x-1 - - - +

f(x) - + - +

e) Asíntotas:

• Verticales: x=-1, x=1

• Oblicuas:

=1; =0 y=x

f) Puntos singulares:

• f'(x)=x2(x2-3)/(x2-1)2

• f'(x)=0  x2(x2-3)=0  x=0; x=; x=-

• f(0)=0; f(-)=-; f()=

• f''(x)=(2x3+6x)/(x2-1)3

• f''(-)<0; x=- es un máximo relativo

• f''()>0; x= es un mínimo relativo

• f''(0)=0, x=0 es un posible punto de inflexión

g) Puntos de Inflexión

• f''(x)=(2x3+6x)/(x2-1)3

• f''(x)=0  2x3+6x=0 2x(x2+3)=0  x=0. Este es único punto de inflexión posible, para el que tenemos que comprobar si cambia en él la curvatura. En vez de acudir a f'''(0), como resulta tedioso el cálculo, basta comprobar que f''(x) cambia de signo al pasar por x=0:

En efecto f''(0-h)=f''(-h)>0 y f''(0+h)<0 con h>0 y arbitrariamente pequeño.

La curva cambia de convexa a cóncava al pasar por x=0. Punto de Inflexión con tangente horizontal.

Ejercicios

Analizar las siguientes funciones racionales y representar su gráfica.

El programa al margen permite comprobar los resultados del análisis. Reemplazar las entradas editables f(x), a1(x), a2(x), a3(x) y a4(x) por las expresiones correspondientes a la función y hasta cuatro asíntotas posibles.

f(x) Solución

1 (x+1)/(2x2-x-1)

2 (x3+x2)/(2x2+x)

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