TRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIA

El origen de la palabra trigonometría proviene del griego. Es la composición de las palabras griegas trigonon: triángulo y metron: medida; trigonometría: medida de los triángulos.

Se considera a Hiparco (180-125 a.C.) como el padre de la trigonometría debido principalmente por su hallazgo de algunas de las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. También contribuyeron a la consolidación de la trigonometría Claudio Ptolomeo y Aristarco de Samos quienes la aplicaron en sus estudios astronómicos. En el año 1600, el profesor de matemáticas de Heidelberg (la universidad más antigua de Alemania) Bartolomé Pitiscus (1561-1613), publicó un texto con el título de Trigonometría, en el que desarrolla métodos para la resolución de triángulos. El matemático francés François Viète (1540-1603) hizo importantes aportes hallando fórmulas trigonométricas de ángulos múltiples. Los cálculos trigonométricos recibieron un gran impulso gracias al matemático escocés John Neper (1550-1617), quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. En el siglo XVIII, el matemático suizo Leonard Euler (1707-1783) hizo de la trigonometría una ciencia aparte de la astronomía, para convertirla en una nueva rama de las matemáticas.

Originalmente, la trigonometría es la ciencia cuyo objeto es la resolución numérica (algebraica) de los triángulos. Los seis elementos principales en todo triángulo son sus tres lados y sus tres ángulos. Cuando se conocen tres de estos elementos, con tal que al menos uno de ellos sea un lado, la trigonometría enseña a solucionar el triángulo, esto es, a encontrar los otros tres elementos. En este estado de la trigonometría se definen las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.), de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, como las razones entre dos de los lados del triángulo; el dominio de definición de estas funciones es el conjunto de los valores que puede tomar el ángulo [0, 180].

Sinembargo, el estudio de la trigonometría no limita sus aplicaciones a los triángulos: geometría, navegación, agrimensura, astronomía; sino también, para el tratamiento matemático en el estudio del movimiento ondulatorio, las vibraciones, el sonido, la corriente alterna, termodinámica, investigación atómica, etc. Para lograr esto, se debe ampliar el concepto de función trigonométrica a una función de una variable real, en vez de limitarse a una función de ángulos.

TRIGONOMETRIA

INTRODUCCION

En un sentido básico, se puede afirmar que la Trigonometría es el estudio de las relaciones numéricas entre los ángulos y lados del triángulo. Pero su desarrollo la ha llevado a tener un objetivo más amplio, como se verá más adelante.

MEDICION DE ANGULOS

En Geometría los ángulos tienen medidas positivas solamente, en cambio, en Trigonometría un ángulo puede tener una medida positiva, nula o también negativa:

Observación: Cada ángulo de cualquier polígono se considera positivo.

Además del sistema sexagesimal, que asigna al ángulo completo una medida de 360º , existe otro sistema para medir ángulos, llamado sistema absoluto, cuya unidad es el radián ( rad ). Un ángulo del centro en una circunferencia tiene la magnitud de 1 rad , si el arco que subtiende tiene una longitud igual al radio de ésta.

En este sistema el ángulo completo mide 2  rad , por lo tanto:

 rad equivalen a 180º

Observación: Generalmente no se utiliza " rad " , cuando se da la medida de un ángulo en sistema absoluto.

RAZONES TRIGONOMETRICAS EN EL TRIANGULO RECTANGULO

Dado el triángulo rectángulo en C :

Se definen:

Seno del ángulo en A ( sen ( A ) ): Cociente entre las longitudes del cateto opuesto al ángulo en A y de la hipotenusa:

Coseno del ángulo en A ( cos ( A ) ): Cociente entre las longitudes del cateto adyacente al ángulo en A y de la hipotenusa:

Tangente del ángulo en A ( tg ( A ) ): Cociente entre las longitudes del cateto opuesto y del cateto adyacente al ángulo en A:

Cotangente del ángulo en A ( ctg ( A ) ): Cociente entre las longitudes del cateto adyacente y del cateto opuesto al ángulo en A:

Secante del ángulo en A ( sec ( A ) ): Cociente entre las longitudes de la hipotenusa y del cateto adyacente al ángulo en A:

Cosecante del ángulo en A ( csc ( A ) ): Cociente entre las longitudes de la hipotenusa y del cateto opuesto al ángulo en A:

RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO DE CUALQUIER MEDIDA

Dada la siguiente figura:

Se definen:

sen ( A ) = cos ( A ) =

tg ( A ) = ( x  0 ) ctg ( A ) = ( y  0 )

sec ( A ) = ( x  0 ) csc ( A ) = ( y  0 )

Teorema 1: Dado un ángulo, el valor de cualquier razón trigonométrica depende únicamente de la magnitud de dicho ángulo.

Teorema 2: Si A + B = 90º , entonces:

sen ( A ) = cos ( B ) cos ( A ) = sen ( B )

tg ( A ) = ctg ( B ) ctg ( A ) = tg ( B )

sec ( A ) = csc ( B ) csc ( A ) = sec ( B )

Teorema 3: Si n  Z , entonces:

sen ( A + 360º × n ) = sen ( A )

cos ( A + 360º × n ) = cos ( A )

tg ( A + 180º × n ) = tg ( A )

TABLA DE RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ALGUNOS ANGULOS

A sen ( A ) cos ( A ) tg ( A )

0º 0 0 1 0

30º

45º

1

60º

90º

1 0 indefinida

180º  0 – 1 0

270º

– 1 0 indefinida

Razones trigonométricas

Debido a que un triángulo tiene tres lados, se pueden establecer seis razones, dos entre cada pareja

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