Trigonometria
Enviado por chompisleon • 26 de Enero de 2012 • 1.305 Palabras (6 Páginas) • 525 Visitas
Captulo 5
Trigonometra
En este captulo se estudian los conceptos trigonometricos fundamentales para establecer
la de nicion de una funcion trigonometrica, concepto que a su vez sera de gran utilidad en
el desarrollo de los metodos tanto del calculo diferencial como del calculo integral.
Se inicia este tema con la de nicion geometrica de angulo, ver gura 5.1.
De nicion 5.1. Un angulo es la gura geometrica generada al rotar una semi-recta sobre
su punto inicial, el cual permanece jo.
Figura 5.1: De nicion de angulo
En la gura 5.1 a) se identi can dos caractersticas de la semi-recta: su punto de inicio,
O, y su punto nal A (el cual tiene forma de punta de
echa). En este caso, gura 5.1 b), la
semi-recta se roto en sentido levogiro, y se denota al angulo como [AOB, siendo B el punto
nal de la semi-recta rotada, y se llama lado inicial del angulo a la semi-recta en su posicion
inicial y lado terminal del angulo a la semi-recta rotada. La apertura entre las posiciones
inicial y nal de la semi-recta es la magnitud del angulo, y se denota comunmente por letras
griegas minusculas o letras arabigas mayusculas, como se muestra en la gura 5.1 c). Es
frecuente que la magnitud del angulo se nombra como si fuera el angulo mismo, con lo cual
se debe tener cuidado al estar trabajando los angulos y sus magnitudes. El punto O se llama
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2 CAPITULO 5. TRIGONOMETRIA
vertice del angulo.
Ejemplo 5.2. Trazar los siguientes angulos:
a) 60
b) 315
c) 210
d) 360
Solucion:
En las guras 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, se muestran los angulos solicitados.
Figura 5.2: Angulo de 60
Figura 5.3: Angulo de 315
Una unidad de medida de los angulos es el grado (). Este se de ne como la 1=360 parte
de una revolucion, es decir, 1 = 1
360 de una revolucion. As, si se desea especi car un angulo
con una apertura de 20, se denota por = 20. Para angulos cuyas aperturas son menores
al grado, se emplean las subunidades, minuto (') y segundo ("). El minuto se de ne como
1
60 de un grado, es decir, 1 = 600. Y el segundo esta de nido como 1
60 de minuto, esto es,
10 = 6000.
3
Figura 5.4: Angulo de 210
Figura 5.5: Angulo de 360
Ejemplo 5.3. Exprese los siguientes angulos con subunidades: 23;5; 42;34
Solucion:
Usando las subunidades de minuto y segundo:
23;5 = 23 + 0;5
600
1
= 23300;
42;34 = 42 + 0;34
600
1
= 4220;400 = 42200 + 0;40
6000
10
= 422002400
El grado como unidad de medida de un angulo es ampliamente usado en aplicaciones
tecnicas, mientras que en aplicaciones donde se requiere el uso del calculo, como en ingenier
a y ciencias, la unidad usada es el radian. Para de nir el radian primero se de ne el
angulo central de un crculo, que es aquel angulo con vertice en el centro del crculo y subtendido
por un arco del propio crculo, gura 5.6.
Como se ve en la gura 5.6, el angulo central, , esta subtendido por el arco AB. Con lo
anterior se de ne el radian como la medida del angulo central de un crculo subtendido por
un arco de longitud igual al radio del crculo. As, la relacion entre los grados y los radianes
se obtiene a partir de la circunferencia. Por una parte, de la de nicion de grado, se sabe que
una circunferencia subtiende un angulo central de 360 y, por otro lado se conoce bien que
la circunferencia de un crculo es 2r, es decir, el radio de la circunferencia se puede trazar
4 CAPITULO 5. TRIGONOMETRIA
Figura 5.6: Angulo radian
2 veces sobre la circunferencia misma. Con lo que se tiene que, 360 = 2.
De esta relacion se pueden trabajar dos razones de cambio: =180 para convertir de
grados a radianes y 180= para convertir de radianes a grados.
Ejemplo 5.4. Convertir los siguientes angulos de grados a radianes.
a) 30
b) 90
c) 135
d) 270
Solucion:
a) 30 = 30
180
= =6
b) 90 = 90
180
= =2
c) 135 = 135
180
= 3=4
d) 270 = 270
180
= 3=2
Ejemplo 5.5. Convertir los siguientes angulos de radianes a grados.
a)
4
5
b)
3
c)
d) 2
Solucion:
a)
4
=
4
180
= 45
b)
3
=
3
180
= 60
c) =
180
= 180
d) 2 = 2
180
...