Vigas Hiperestaticas

Deformación en vigas

Definición

Adicionalmente al diseño de vigas por resistenc= ia, se debe determinar la= deflexión máxima de = una viga bajo una carga dada, ya que las especificaciones de diseño incl= uyen generalmente un valor máximo admisible para la deflexión y en algunos casos el diseño de la viga queda determinado más por rigidez que por resistencia.

Por otra parte, el estudio de rigidez de viga es importante porque los pisos en= un edificio no se pueden flexionar excesivamente, ya que tiene un efecto psico= lógico en los ocupantes además se debe minimi­zar o impedir el deterior= o de los materiales frágiles del acabado. Asimismo el estudio de las deformaciones en las vigas provee ecuaciones adicionales, estas con las de equilibrio permiten resolver las vigas estáticamente indeterminadas o hiperestáticas.

En la figura 1 se indica la deflexi&oacut= e;n o flecha por la variable y(x)= ; esta constituye la distancia entre la posición original de la viga y la posición que adquiere después de aplicar las cargas. La pendi= ente de una recta tangente a la posición deformada o elástica de la viga, esta definida por el valor de θ(x) y representa el á= ngulo de la recta tangente con respecto a la posición original. Es importante señ= alar que las deflexiones determinadas por estas suposiciones se limitan a deflexiones que son pequeñas en relación con la longitud del claro, por e= llo se dice que en radianes= .

Figura 1. Esquema de la deformada de una viga.

Métodos

Se utilizan varios métodos para determinar la d= eformación en vigas, todos están basados en los mismos principios pero difieren= en su técnica y objetivos (Singer y Pytel, 1982).

- Doble integración.

- Superposición.

- Area de momentos.

- Viga conjugada.

- Rigidez directa.

- Elementos finitos etc…

Doble Integración

Si el momento flector puede representarse para todos l= os valores de x, por una sola expresión de M(x), la pendiente θ(x) y la deflexión y(x) en cualqu= ier punto de la viga pueden obtenerse por dos integraciones sucesivas. Las dos = cons­tantes de integración introducidas en el punto se determinarán de las condiciones de frontera indicadas en la viga. Partiendo de la ecuació= ;n:

= &nb= sp; = &nb= sp; = &nb= sp; = &nb= sp; = &nb= sp; = &nb= sp; &= nbsp; &nbs= p; &= nbsp; &nbs= p; &= nbsp; &nbs= p; &= nbsp; &nbs= p; &= nbsp; &nbs= p; &= nbsp; &nbs= p; Ec. (1)

El producto EI= se conoce como la rigidez a flexión y si varía a lo largo de la viga, como en el caso de una viga de sección variable, debe expresar= se en función de x antes de integrar. Sin embargo, para una viga prismática, la rigidez a flexión es constante y la integral se escribe como:

= &nb= sp; = &nb= sp; = &nb= sp; = &nb= sp; = &nb= sp; = &= nbsp; &nbs= p; &= nbsp; &nbs= p; &= nbsp; &nbs= p; &= nbsp; Ec. (2)

Esta solución es la ecuación de pendient= e donde C1 es una constante de integración. Si θ(x) es el ángulo en radianes que la tangente a la curva elástica for= ma con la horizontal en Q (v&eacut= e;ase figura 1) y recordando que este ángulo es pequeño, se tiene <= /p>

= &nb= sp; = &nb= sp; = &nb= sp; = &nb= sp; = &nb= sp; = &nb= sp; &= nbsp; &nbs= p; &= nbsp; &nbs= p; &= nbsp; &nbs= p; &= nbsp; Ec. (3)

En consecuencia la ecuación puede escribirse en= la forma alternativa

= &nb= sp; = &nb= sp; = &nb= sp; = &nb= sp; = &nb= sp; = &= nbsp; &nbs= p; &= nbsp; &nbs= p; &= nbsp; &nbs= p; &= nbsp; Ec. (4)

Integrando los dos miembros de la ecuación en x, se tiene

= &nb= sp; = &nb= sp; = &nb= sp; = &nb= sp; = &= nbsp; &nbs= p; &= nbsp; &nbs= p; &= nbsp; &nbs= p; &= nbsp; &nbs= p; &= nbsp; Ec. (5)

esta es la ecuación de la elástica de la= viga, donde C2 e= s una segunda constante y el primer término del miembro derecho es la función de x obtenida integrado dos veces en x el momento flector M(x). Si no fuera porque C1 y C2 permanecen indeterminadas, la Ecuación (5) definiría la deflexión de la viga en cualquier punto dado Q y la ecuación (2) o la (4) definirían del mismo modo la pendiente de la viga en Q.

Las constantes C1 y C2 se determinan de las condiciones de frontera o, más precisamente, de las condiciones impuestas en la viga por sus apoyos. Limitando el anális= is en esta sección a vigas apoyadas de tal manera que las reacciones pu= eden obtenerse por estática, obsérvese que aquí pueden considerarse dos tipos de vigas (véase figura 2): a) viga en voladiz= o y b) viga simplemente apoyada.

Figura 2. Condiciones de apoyo de dos tipos de vigas

Las cargas concentradas, las reacciones en los apoyos = o las discontinuidades en una carga distribuida harán dividir la viga en varias porciones y representar el momento por una función diferente = M(x) en cada una de dichas porcion= es para la resolución de la ecuación diferencial . Si la carga p(x= ) es una función de carga discontinua del tipo indicado, se utilizará la notación del cálculo operacional

= &nb= sp; = &nb= sp; = &nb= sp; = &nb= sp; =

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