Vigas Hiperestaticas

INDICE

Introducción 2

3.1 Apoyos Redundantes 3

3.2 Métodos de aplicación 3

3.2.1 Doble integración 4

3.2.2 Área de momentos 8

3.2.3 Superposición 14

3.3 Vigas continuas 18

Conclusión 23

Bibliografía 24

Introducción

Son aquellas vigas que, para su cálculo, presentan más incógnitas que ecuaciones. En general, una estructura es hiperestática o estáticamente indeterminada cuando está en equilibrio pero las ecuaciones de la estática resultan insuficientes para determinar todas las fuerzas internas o las reacciones.

Existen diversas formas de hiperestaticidad:

- Una estructura es internamente hiperestática si las ecuaciones de la estática no son suficientes para determinar los esfuerzos internos de la misma.

- Una estructura es externamente hiperestática si las ecuaciones de la estática no son suficientes para determinar fuerzas de reacción de la estructura al suelo o a otra estructura.

- Una estructura es completamente hiperestática si es internamente y externamente hiperestática.

Una forma de enfocar la resolución de las vigas hiperestáticas consiste en descomponer la viga inicial en varias vigas cuyo efecto sumado equivalga a la situación original. Las solicitaciones externas, cargas y reacciones, generan cortante, momento y deformación, siendo válido el principio de descomposición de las vigas en vigas cuyas acciones sumen el mismo efecto.

Los problemas hiperestáticos requieren condiciones adicionales usualmente llamadas ecuaciones de compatibilidad que involucran fuerzas o esfuerzos internos y desplazamientos de puntos de la estructura. Existen varios métodos generales que pueden proporcionar estas ecuaciones:

-Método matricial de la rigidez

-Teoremas de Castigliano

-Teoremas de Mohr

- Teorema de los tres momentos

3.1 Apoyos redundantes

Se define como el número de acciones redundantes o exceso de reacciones internas y externas, que no es posible determinar por medio del equilibrio estático. Se puede decir que es la diferencia entre el número de incógnitas y ecuaciones disponibles de equilibrio estático. Por ejemplo la viga de la figura 1 tiene tres reacciones desconocidas y solo se dispone de dos ecuaciones de equilibrio, la viga es indeterminada en grado 1:

Número de incógnitas = NI = 3

Ecuaciones de equilibrio = EE = 2

Grado de indeterminación = GI = NI – EE = 3 – 2 = 1

Viga de la figura 2:

NI = Reacciones verticales y momento en el empotramiento = 5

EE = Equil. Vertical y suma de momentos = 2

GI = 5 – 2 = 3

En ambos casos los GI representan el número de ecuaciones adicionales para su solución.

3.2 Métodos de aplicación

Se analizan vigas estáticamente indeterminadas con objeto de conocer las reacciones externas e internas en los soportes, así como las deformaciones angulares y lineales que ocurren a través de su longitud cuando se les somete a carga externa. Las deformaciones angulares son las rotaciones o pendientes que se miden mediante una tangente trazada a la curva elástica (Diagrama de deformación) y las lineales son los desplazamientos verticales que se miden entre el eje original de la viga y el eje cuando la barra se flexiona. La figura 3 muestra esta condición.

P = Carga aplicada.

 = Rotación o pendiente.

 = Deformación lineal o flecha.

3.2.1 METODO DE DE LA DOBLE INTEGRACIÓN.

Es uno de tantos métodos que se basan en el análisis de las deformaciones, en particular la de los soportes. El método consiste en integrar sucesivamente una ecuación denominada “Ecuación Diferencial de la Elástica” dada por la expresión:

E = Módulo elástico del material del que está hecha la viga.

I = Momento de inercia de la sección transversal respecto al eje neutro.

Mx = Ecuación de momentos a lo largo de toda la barra.

Al integrar sucesivamente la ecuación de momentos, aparecen constantes que será necesarios definir. Estas constantes se determinan en función de las condiciones de frontera, que generalmente las definen los tipos de apoyo o la simetría de la carga. Recordemos que un apoyo simple tiene pendiente pero no tiene flecha y un apoyo empotrado no tiene ni pendiente ni flecha. En un punto cualquiera de la viga, la pendiente es la misma analizando las cargas y momentos a la izquierda o a la derecha del punto.

Problema 1. Determine los momentos flexionantes y las reacciones verticales en la viga de la figura 4). Tomar EI constante. El apoyo 1 es simple el 2 es empotramiento.

Ecuaciones de momento. Se traza el diagrama de cuerpo libre indicando las reacciones desconocidas y la carga aplicada. Enseguida se plantea la ecuación de momentos y se le integra sucesivamente.

Integrando:

Cálculo de las constantes. La ecuación 1) proporciona la pendiente (dy/dx) en cualquier punto de la viga. El apoyo 2) está empotrado y no tiene pendiente por lo que sustituyendo x = 8 e igualando a cero se tiene:

La ecuación 2) proporciona la flecha (Y) en cualquier punto de la viga. El apoyo 1) es simple y no tiene flecha, por lo que sustituyendo x = 0 e igualando a cero, se tiene: C2 = 0

En la misma ecuación 2) la flecha es cero en x = 8 y sustituyendo C1 logramos obtener una ecuación en función de la reacción V1 la que al resolverse nos da su valor.

V1 = 1500.00 kg

Por equilibrio de fuerzas verticales se obtiene la reacción V2.

V1 + V2 - 500(8) = 0

V2 = 2500.00 kg

Conocidas las reacciones verticales, el momento M2 puede calcularse sumando momentos en el nodo 1) o en el 2) o sustituyendo x = 8 en la ecuación de momentos.

M1 = M2 + 500(8)4 - 2500(8) = 0

M2 = 4000.00 kg.m

Problema 2. Obtenga los momentos y reacciones verticales para la viga de la figura 5). Trace también

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