Solución de Sistemas de ecuaciones Lineales por el metodo Gauss Jordan

     SOLUCIÓN DE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES POR MEDIO DEL METODO GAUSS-JORDAN

NOMBRES

PRESENTADO A:

Dr. JESUS EMILIO PINTO

UNIVERSIDAD DE LA AMAZONIA

FLORENCIA - CAQUETÁ

2022-I

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN        2

MARCO TEORICO        3

DESARROLLO METODOLÓGICO        5

ALGORITMO DEL PROGRAMA        12

RESULTADOS        17

BIBLIOGRAFIA        20

INTRODUCCIÓN

Una solución de una ecuación es una asignación de valores a las incógnitas de forma que se verifique la igualdad, con el propósito de encontrar los valores de estas incógnitas que satisfagan dichas operaciones. Por medio de este trabajo, se quiere solucionar sistemas de ecuaciones lineales por medio de un algoritmo que permita desarrollar la implementación del método de Gauss Jordán, este método también permite encontrar matrices y, matrices inversas.

MARCO TEORICO

El matemático alemán Carl Friedrich Gauss es reconocido, con Newton y Arquímedes, como uno de los tres matemáticos más importantes de la historia. Gauss usó una forma de lo que ahora se conoce como Eliminación Gaussiana en sus investigaciones. Aunque este método fue nombrado en honor a Gauss, los chinos usaban un método casi idéntico 200 años antes. Este método debe su nombre a Carl Friedrich Gauss y a Wilhelm Jordan. Se trata de una serie de algoritmos del álgebra lineal para determinar los resultados de un sistema de ecuaciones lineales y así hallar matrices e inversas. El sistema de Gauss se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones y obtener las soluciones por medio de la reducción del sistema dado a otro que sea equivalente en el cual cada una de las ecuaciones tendrá una incógnita menos que la anterior. La matriz que resulta de este proceso lleva el nombre que se conoce como forma escalonada. Este método permite resolver hasta 20 ecuaciones simultáneas. Lo que lo diferencia del método Gaussiano es que cuando es eliminada una incógnita, se eliminará de todas las ecuaciones restantes, o sea, las que anteceden a la ecuación principal, así como de las que la siguen a continuación. De esta manera el paso de eliminación forma una matriz identidad en vez de una matriz triangular. No es necesario entonces utilizar la sustitución hacia atrás para conseguir la solución. Este procedimiento se demuestra en el siguiente ejemplo: Utilice la eliminación de Gauss-Jordan para resolver el sistema que propone Larson.

[pic 3]

La matriz aumentada de este sistema es:

[pic 4]

Ahora, aplique soluciones elementales en los renglones hasta obtener ceros arriba y debajo de cada uno de los 1 principales, como se muestra a continuación.

[pic 5]

La matriz está ahora en la forma escalonada reducida por renglones; por tanto, procedemos a resolverla.

DESARROLLO METODOLÓGICO

Método de Gauss Gordan

Para solucionar ecuaciones lineales 3x3 por medio del método de Gauss Jordán se deben de seguir lo siguientes pasos:

1. Se convierte el sistema de ecuaciones en una matriz: Para poder escribir esta matriz todas las ecuaciones deben de estar en el orden, es decir primero el termino con la x, luego el termino con la y, luego el termino con la z y, por último, al otro lado del igual el termino independiente.

[pic 6]

     [pic 7]

      [pic 8]

1. Luego de tener en orden el sistema de ecuaciones se debe tener en cuenta que, en la matriz, en la primera columna se escriben todos los coeficientes de la x, en la segunda columna todos los coeficientes de la y, en la tercera columna todos los coeficientes con la z. Al otro lado se hace una división y se colocan los términos independientes. Se escriben los números que acompañan a los coeficientes.

[pic 9]

1. Se toma el primer número de la diagonal principal

                [pic 10]

Y se busca convertir los otros números de esa columna en cero,

[pic 11]

Para lograr esto se busca un número que al restarlo con el número que está en la columna el resultado sea cero, luego de esto se multiplica la fila 1 por el número que se encontró y esto se suma con la fila que se está trabajando, así:

 [pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

Se deja la fila del primer número de la diagonal principal (pivote) y la tercera fila igual, y en la fila 2 se coloca el resultado de la anterior operación:

[pic 15]

Luego, se hace lo mismo que se hizo anteriormente, pero con la fila 3

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

Ahora se realiza el cambio de la tercera fila:

[pic 19]

1. Se toma el segundo número de la diagonal principal, lo que se busca es convertir el segundo número de la fila 3 en cero

[pic 20]

Entonces la fila de la diagonal principal con la que estamos trabajando se multiplica por un número, que al sumar el pivote con este de cero

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

Luego de esto se escriben las dos primer filas tal cual estaban en el paso (3) y se modifica la fila 3 por el resultado que se obtuvo:

[pic 24]

1. Se toma el tercer número de la diagonal principal.

[pic 25]

Y se busca convertir los dos números que están arriba de el en cero

[pic 26]

Empezamos con la fila uno, como en la fila uno se quiere convertir el número 3 en cero y tenemos de pivote el –3 de la fila 3 al sumar estos dos valores ya da cero, así:

...