Sistemas lineales resolubles y matrices inversibles con Gauss Jordan.

Lección 14

14. Sistemas lineales resolubles  y  matrices inversibles con Gauss_Jordan.

Motivación y un momento para Camille Jordan (“Un Ingeniero de Minas enamorado de la pedagogía”). Usando Cramer podemos resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2 y 3x3 , cuyos determinantes de las matrices asociadas a los sistemas son distintos de cero. En este caso la solución es única.  Pero, si determinante es cero , el sistema no tiene solución o tiene infinitas soluciones; o si el determinante no tiene sentido (el número de variables es distinto al número de ecuaciones),    ¿Cómo podemos resolverlos en estos casos  ? ¿Cómo saber si estos tienen o no solución ?.  

Estas preguntas son las que  dan luz a la presente lección y se resuelven usando el método de Gauss_Jordan; teniendo claro lo planteado en la lección  anterior

El sistema AX = B tiene solución si y sólo B es combinación lineal de las columnas de A ( inicialmente  de  sus columnas L. I ) ,        B = α1C1,A  +  α2C2,A  + .  .  .   + αnCn,A  ; o lo mismo,

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En aras de no perder la  estructura  de las lecciones  dedicamos esta al matemático frances  Camille Jordan, quien con sus formas canónicas de las matrices entra a figurar entre los personajes destacados del álgebra lineal. Aclarando antes y una vez más que el método de eliminación no se debe a él sino a otro  matemático  alemán de su mismo apellido pero de nombre Wilhelm

Camille Jordan (Lyon 1838 - París 1922) nació entre la ciencia y el arte y así vivió toda su vida. Su padre Esprit Alexandre Jordan fue un gran ingeniero, su madre Josèphine Puvis de Chavannes provenía de una familia de artistas y era la hermana de uno de los pintores franceses más famosos de la época ^[1]Nota 1 [pic 2]

Camille Jordan fue un matemático francés conocido tanto por su trabajo, fundamental, sobre la teoría de los grupos como por su influyente Curso de análisis (Cours d’analyse). Jordan estudió en la Escuela Politécnica (promoción 1855). Fue ingeniero de minas y, más tarde ejerció como examinador en la misma escuela. En 1876 entró como profesor en el Colegio de Francia, sustituyendo a Joseph Liouville ( 1809 – 1882, reconocido  matemático francés).

El 4 de abril de 1881 fue elegido miembro de la Academia de la Ciencia. De 1885 a 1921 dirige la «Revista de matemáticas puras y aplicadas» (Journal de mathèmatiques pures et apliqués), fundado por Liouville.

En 1912 se retiró de la Escuela Politécnica y pasó los últimos años de su vida sumido en la tristeza y en la tragedia que significó la Primera Guerra Mundial pues tres de sus hijos fueron asesinados en ella. Murió el 22 de enero de 1922 en Paris, Francia.

Su nombre se asocia a un determinado número de resultados fundamentales:

1. El teorema de la curva de Jordan: un resultado topológico recogido en análisis complejo.

[pic 3][pic 4]

2.  La forma normal (“Canónica”) de Jordan en álgebra lineal ^[2]Nota 2.

3. El teorema de Jordan-Holder, que es el resultado básico de unas series de composiciones ^[3]Nota  3  

4. El trabajo de Jordan incidió de manera sustancial en la introducción de la teoría de Galois (Evaristo, 1811 – 1832) en la corriente del pensamiento mayoritario. Jordan fue el primero en comprender plenamente la trascendental relevancia de las aportaciones de Galois; Su Tratado de las sustituciones (Traité des substitutions) sobre las permutaciones de grupos fue publicado en 1870.

5. Desarrolló también importantes conceptos matemáticos, como el del grupo cociente, los homomorfismos y las sucesiones de subgrupos; definió las sucesiones de Jordan-Hölder

6. Fundamentalmente, y por encima de sus aportaciones científicas, Jordan destacó por la novedosa exposición de sus resultados, actuó como ligazón entre diversos campos de la matemática de su tiempo y fue un muy destacado pedagogo. •

Ahora sí comenzamos a desarrollar los temas centrales de la presente lección

14.1. Concepto preliminar : Conjunto solución de un sistema lineal AX = B, donde A es una matriz     m x n.  El subconjunto de Rn ( n = número de variables independientes ) conformados por todas las soluciones del sistema lineal  se denomina Conjunto solucion y se nota Cs :

 Cs =  {   Y ∈ Rn |  AY  = B    }

Si el sistema es homogéneo, su conjunto solución se nota CsH 

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14.2 Algoritmo Gauss_Jordan para  la solución completa de sistemas lineales

Para facilitar el entendimiento de sus pasos, a medida que damos los pasos , los ilustramos con  el sistema  

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Paso 1:  Forma matricial de  AX = B

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Observación : Asociación de variables con columnas . En el sistema lineal se observa que las componentes de la columna j_ésima de la matriz A, Cj,A, están acompañadas de la variable xj . En este caso decimos que la variable xj es la asociada a la columna j_ésima de A

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