Ejercicios sistema de ecuaciones

Cinco trajes y 3 sombreros cuestan 3311, y 8 trajes y 9 sombreros 9481. Hallar el precio de un traje y de un sombrero.

Sistema de ecuaciones:

x: es el precio de un traje

y: es el precio del sombrero

Cinco trajes y 3 sombreros cuestan 3311

5x+ 3y = 3311

Ocho trajes y 9 sombreros  cuestan 9481

8x +9y = 9481

Utilizamos el Método de sustitución despejamos una incógnita en la primera ecuación y remplazamos en la segunda

x= (4180-3y)/5

8(4180-3y)/5 +9y = 6940

33440 - 24y + 45y = 34700

21y = 1260

y =60 pesos

x = (4180-180)*5

x = 800

Si a 5 veces el mayor de dos números se añade 7 veces el menor la suma es 316 y si a 9 veces el menor e resta el cuádruple del mayor la  diferencia es 81. Hallar los números

Solución: Los números son 31 y 23

Explicación paso a paso

Para resolver es necesario plantear un sistema de ecuaciones, donde x e y representan los dos diferentes números.

• x: número mayor
• y: número menor

Si a 5 veces el mayor de dos números se añade 7 veces el menor la suma es 316:

5x + 7y = 316

Si a 9 veces el menor se resta el cuádruple del mayor la diferencia es 81:

9y - 4x = 81

-4x + 9y = 81

Resolveremos mediante reducción:

[pic 1]

4/5 * (5x + 7y = 316)

         -4x + 9y = 81

Tenemos:

4x + 28/5y = 1264/5

-4x + 9y   = 81

____________________

         73/5y = 1679/5

                 y = 1679/5 * 5/73

                 [pic 2]

El valor del número mayor es:

5x + 7 * 23 = 316

5x + 161 = 316

5x = 316 - 161

5x = 155

[pic 3]

Edad de A = x

Edad de B = y

3/7 x + 3/8 y = 15

2/3 x - 3/4 y =  2

Este es un sistema de 2 ecuaciones, se las convierte en enteras y queda:

24x + 21y = 840   (por 3)

8x - 9y = 24         (por /)

Por el método de reducción resolvemos el sistema, queda:

72x + 63y = 2520

56x - 63y =   168

-----------------------------

128x        = 2688

x = 2688/128

x = 21 años,    la edad de A

Ahora en la ecuación 1, se reemplaza el valor de x, queda:

24x + 21y = 840

21y = 840 - 24x

21y = 840 - 24(21)

21y = 840 - 504

y = 336/21

y = 16 años,    la edad de B

Entonces:

A = 21 años

B = 16 años.

Ojalá lo entiendas.

Edad de A --> x

Edad de B --> y

[1] 3/7 x + 3/8 y = 15

[2] 2/3 x - 3/4 y  = 2

Desarollando [1]

3/7 x + 3/8 y = 15

(24x + 21y)/56 = 15

24x +21y = 840

8x + 7y =280     [3]

Desarollando [2]

2/3 x - 3/4 y  = 2

(8x - 9y)/12 =2

8x - 9y = 24      [4]

[3] y [4]

[3] 8x + 7y = 280

[4] 8x - 9y = 24

     8x + 7y = 280

    -8x + 9y = -24         camabia signo [4] para simplificar

           16y = 256

              y = 16

Reemplaza y=16 en [4]

      8x - 9(16) = 24

         8x = 24 + 144

         8x = 168

           x = 21  

Comprobando en [1]

 3/7 x + 3/8 y = 15

  3/7 (21) + 3/8 (16) = 15

     9 +  6 = 15

           15 = 15

A : x
B : y

=> El doble de "A" excede en 50 a los años de "B" :

2x = y+50
x =(y+50)/2

=> 1/4 de la edad de "B" , 35 años menos que la edad de "A" :

1/4 y = x-35
y/4 +35 = x

Definir

x: edad de A

y: edad de B

Ecuaciones

2x = y + 50

y/4 = x - 35

Aplicar método de sustitución;

Sustituir x de 2;

x = y/4 + 35

Sustituir x en 1;

2(y/4 + 35) = y + 50

y/2 + 70 = y+ 50

Agrupar;

y - y/2 = 70 - 50

y/2 = 20

Despejar y;

y = 20(2)

y = 40

Sustituir;

x = 40/4 + 35

x = 45

¿Cuál es la fracción?

Definir;

• x: numerador
• y: denominador

Ecuaciones

1. (x + 1)/(y + 1) = 2/3 ⇒ 3(x + 1) = 2(y + 1)
2. (x - 1)/(y - 1) = 1/2 ⇒ 2(x - 1) = y - 1

Aplicar método de sustitución;

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