ESTUDIO APLICATIVO DE LA DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO

FACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS, CÓMPUTO Y TELECOMUNICACIONES

SISTEMA A DISTANCIA

UNIVERSIDAD INCA GARCILASO DE LA VEGA

FACULTAD DE INGENIERIA DE SISTEMAS, CÓMPUTO Y TELECOMUNICACIONES

SISTEMA A DISTANCIA

ESTADISTICA

TRABAJO

ESTUDIO APLICATIVO DE LA DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADO

INTRODUCCION

Al realizar pruebas de hipótesis, se parte de un valor supuesto (hipotético) en parámetro poblacional. Después de recolectar una muestra aleatoria, se compara la estadística muestral, así como la media (x), con el parámetro hipotético, se compara con una supuesta media poblacional (). Después se acepta o se rechaza el valor hipotético, según proceda. Se rechaza el valor hipotético sólo si el resultado muestral resulta muy poco probable cuando la hipótesis es cierta.

Al intentar alcanzar una decisión, es útil hacer hipótesis (o conjeturas) sobre la población aplicada.

Tales hipótesis, que pueden ser o no ciertas, se llaman hipótesis estadísticas.

Son, en general, enunciados acerca de las distribuciones de probabilidad de las poblaciones.

Hipótesis Nula:

En muchos casos formulamos una hipótesis estadística con el único propósito de rechazarla o invalidarla. Así, si queremos decidir si una moneda está trucada, formulamos la hipótesis de que la moneda es buena ( o sea p = 0,5, donde p es la probabilidad de cara).

Analógicamente, si deseamos decidir si un procedimiento es mejor que otro, formulamos la hipótesis de que no hay diferencia entre ellos (o sea. Que cualquier diferencia observada se debe simplemente a fluctuaciones en el muestreo de la misma población). Tales hipótesis se suelen llamar hipótesis nula y se denotan por Ho.

Proposiciones Utilizando la definición Chi – Cuadrado (X2).

Una media de la discrepancia existente entre las frecuentes observadas y esperadas viene proporcionada por el estadístico X2 dado por:

Donde si la frecuencia total es N.

Si X2 = 0 Las frecuencias observadas y teóricas coinciden completamente, mientras que si X2 > 0, no coinciden exactamente a valores más grandes de X2, mayor discrepancia entre las frecuencias observadas y esperadas.

La distribución muestral de X2 se aproxima muy bien por la distribución Chi – Cuadrada.

Distribución Chi – Cuadrado para la Bondad de Ajustes:

El Test Chi – Cuadrado puede utilizarse para determinar la calidad del ajuste mediante distribuciones teóricas (como la distribución normal o la binomial) de distribución empíricas (o sea las obtenidas de los datos de la muestra).

DISTRIBUCION CHI CUADRADO

Una variable Chi cuadrado se define como la suma de n variables normales estandarizadas elevadas al cuadrado

Si para todo , sigue una distribución normal con media 0 y varianza 1 entonces sigue una distribución chi-cuadrado con grados de libertad. Esto lo expresamos del siguiente modo: .

La Distribución chi-cuadrado, tiene por función de densidad:

Donde el parámetro k de, se denomina grados de libertad de la distribución.

La Distribución chi-cuadrado no tiene sentido para valores negativos de x, como se puede ver en la figura.

Téngase en cuenta que para k = 1 y k = 2 la función de densidad para x = 0, se hace infinito:

Para el resto de los valores de k, para x = 0, la función vale 0.

La Distribución de probabilidad de esta función para valores menores de un x dado, que representamos por

Donde:

Esta integral no tiene una solución conocida, y solo se conocen métodos numéricos para calcular sus valores, hay distintos tipos de tablas y algoritmos para ordenador con los que se pueden calcular sus soluciones, veamos una tabla distribución chi-cuadrado y su modo de utilización.

La distribución Chi Cuadrado consta de las siguientes características:

* Tiene una distribución

asimétrica positiva

* Para cada n de la muestra se tendrá un ji cuadrado diferente

* Mientras n se vuelva más grande, las curvas son menos asimétricas y tienden a una curva de distribución normal

* El parámetro que caracteriza a una distribución ji cuadrado son sus grados de libertad (n-1), originado una distribución para cada grado de libertad

Ejercicio 1

Un fabricante X concluye que su producto tendrá una vida útil de 10 años. Se elige una muestra entre los cuales tenemos: 11.8-9.7-10.5-12.1-13.3-13.4-10.3-8.5-15.0-10.5-7.6- 6.3. Teniendo en cuenta una desviación poblacional de 1.2 años. ¿De acuerdo a lo anterior se puede corroborar que la desviación poblacional es de 1.2 años?

SOLUCIÓN

σ = 1.2

µ = 10

s = 2.53

n =12

V =11

X2 = 48.8

De acuerdo a lo anterior se puede observar que la desviación poblacional es mayor que 1.2 años (debido a que el valor de Chi Cuadrado es muy alto y por lo tanto no cae dentro del intervalo de confianza para una muestra de 12)

Ejercicio 2

El gerente de una empresa industrial estaba preocupado por los continuos accidentes de trabajo que se presentaban; por lo que estableció nuevos lineamientos de seguridad. Antes de estos nuevos lineamientos, el gerente esperaba que no hubiera ningún accidente en 40% de los meses, un accidente en 30% de los meses, dos accidentes en 20% de los

meses y tres accidentes en 10% de los meses

En los últimos 10 años, ó 120 meses, hubo 46 meses en los que no se tuvo ningún accidente, 40 meses en los que hubo un accidente, 22 meses en los que hubo dos accidentes y 12 meses en los que hubo tres accidentes. Al nivel de significancia 0.05. ¿Puede concluir, el gerente de la empresa, que ha habido una variación en la distribución mensual de los accidentes?

MODELO DE DISTRIBUCION (CHI CUADRADO) DE PEARSON

-Definición: Sea donde "k" son variables aleatorias normales e independientes, cada una con media 0 y desviación típica. Entonces, la variable aleatoria:

es una variable chi cuadrado con k grados de libertad. Una variable aleatoria continua "i" tiene una distribucion Chi Cuadrado con parámetro "n", que denotaremos:

...