Diseño 2 Al Cuadrado

Diseño 2 al cuadrado

Por su sencillez, una matriz de experimentos factorial completa 2k no requiere un software especializado para construirla ni para analizar sus resultados. En estos diseños, cada factor se estudia a sólo dos niveles y sus experimentos contemplan todas las combinaciones de cada nivel de un factor con todos los niveles de los otros factores. La T abla 1 muestra las matrices 22, 23 y 24, para el estudio de 2, 3 y 4 factores respectivamente. La matriz comprende 2kfilas (2 ´ 2 ... ´ 2 = 2k experimentos) y k columnas, que corresponden a los k factores en estudio. Si se construye en el orden estándar, cada columna empieza por el signo –, y se alternan los signos – y + con frecuencia 20 para x1, 21 para x2, 22 para x3, y así sucesivamente hasta xk, donde los signos se alternan con una frecuencia 2k-1

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ESTUDIO DEL EFECTO DE TRES FACTORES EN UNA REACCIÓN QUÍMICA

1. Planteamiento del problema

Para ilustrar el uso de un diseño factorial 23, consideremos una reacción de síntesis catalizada. Se quiere comprobar qué efecto tienen dos catalizadores A y B sobre el rendimiento de la reacción. Se cree que el tiempo de reacción y la temperatura también pueden influir, y quizás de modo distinto según qué catalizador se utilice. Por tanto, se decide estudiar estos tres factores. Este ejemplo es continuación del utilizado en [2], añadiendo el factor catalizador.

2. Factores y dominio experimental

Los factores escogidos por el experimentador y su domino experimental se muestran en la Tabla 2. El dominio experimental de un factor continuo se expresa con los valores mínimo y máximo que puede tomar, y se asigna la notación codificada –1 al nivel inferior y +1 al superior (– y + para simplificar). El dominio experimental de un factor discreto (el catalizador) se expresa con la lista de valores que tomará. Y en este caso es irrelevante qué nivel es el –1 y cuál es el +1.1 La notación codificada

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Para estudiar tres catalizadores A, B y C se utilizaría la notación –1, 0 +1. A diferencia de la codificación de factores continuos, el 0 simplemente indica “catalizador B” y no un catalizador con propiedades intermedias entre el A y el C. Otra posible notación es 0, 1, 2. 3

Es especialmente útil para el factor discreto, ya que permitirá obtener una estimación numérica de su efecto a pesar de que el factor no toma valores numéricos.

3. Matriz de experimentos: el diseño factorial completo 23

La Figura 1 representa el domino experimental combinado para los tres factores. Cada círculo indica un posible experimento con unos valores concretos de cada factor. ¿Qué experimentos son los más apropiados para conocer cómo afecta cada factor al rendimiento de la reacción?

Para conocer el efecto de un factor es suficiente con hacerlo variar entre dos valores. Los más adecuados son los extremos de su dominio experimental: entre el nivel –1 y el +1. Y además esta variación se debe realizar para cada posible combinación de los valores de los demás factores. Esto permitirá descubrir si el efecto depende de qué valor tomen los otros factores. Todas estas combinaciones están contempladas en el diseño factorial completo 23 de la Tabla 3. En total ocho experimentos correspondientes a 2 niveles del tiempo de reacción ´ 2 niveles de la emperatura ´ 2 niveles del catalizador. La Figura 1 muestra que estos experimentos se realizan en los extremos del dominio experimental. Notar que ningún par de factores varía siempre en la misma dirección. Las columnas no están correlacionadas sino que son ortogonales, con tantos signos + como signos –. Esto permitirá, como veremos, estimar un efecto independientemente de los otros, utilizando las fórmulas de la Tabla 4.

4. Plan de experimentación y realización de los experimentos

La Tabla 3 muestra el plan de experimentación que se obtiene al reemplazar los valores – y + por los valores de las variables reales. También muestra los rendimientos obtenidos al realizar los experimentos en orden aleatorio. En la Figura 2 se han representado estos valores en el dominio experimental.

Las ocho respuestas se pueden combinar para obtener ocho informaciones (tantas como experimentos): el valor medio, tres efectos principales, tres efectos de interacción de dos factores y un efecto de interacción de tres factores. La Tabla 4 muestra estas ocho combinaciones. El orden en el que se suman y restan

las respuestas viene dado por la matriz de los efectos (también llamada matriz del modelo) de la Tabla 5. Esta matriz codificada tiene tantas filas como experimentos, y tantas columnas como efectos se estimarán. Cada efecto se calcula sumando o restando las respuestas de acuerdo con el orden de signos de su columna. Esta forma rápida y sistemática de calcular los efectos será muy útil cuando tratemos los diseños factoriales fraccionados en el próximo artículo.

5. Interpretación de los resultados

Aunque los efectos se deben analizar siguiendo el orden descrito en [2], por motivos pedagógicos los interpretaremos por orden creciente de complejidad.

Valor medio

El valor b0 = 61.5 indica alrededor de qué valor han variado las respuestas. Generalmente también corresponde al valor predicho en el centro del dominio. Esta segunda interpretación en nuestro caso carece de sentido porque es imposible experimentar en estas condiciones (no existe un catalizador intermedio entre A y B).

Efectos principales

Los efectos bT, bt y bC miden cómo afecta cada factor a la respuesta. El tratamiento que provoca un mayor cambio de rendimiento es variar la temperatura de 40ºC a 80ºC. El valor bT = 36 indica que el rendimiento aumenta en esa cantidad. Variar el tiempo de reacción de 6h a 8h también aumenta el rendimiento (bt = 8.5), aunque su efecto es menor que el del cambio de temperatura. Finalmente, el catalizador es el que tiene menor influencia. El signo negativo de su efecto (bC = –5.0) indica que el rendimiento disminuye al cambiar del catalizador A al B.

Es interesante interpretar estos efectos a partir de la Figura 2. Para el efecto de la temperatura, se debe considerar la cara superior del cubo frente a la cara inferior. Se 7calcula la respuesta media de los cuatro experimentos a 80ºC (nivel +1), yT+, y la respuesta media de los cuatro experimentos a 40ºC (nivel –1), yT–. El efecto es: bT = yT+ – yT– = 36

De modo parecido, el efecto del tiempo de reacción es la media de los rendimientos de los cuatro experimentos realizados durante 8 h. (cara derecha del cubo) menos la media de los rendimientos obtenidos

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