Ecuaciones

Indique cuales de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes y cuales son diferenciales lineales no homogéneas y resuélvelas.

a. y´´-10y´+25y=0

ES UNA ECUACIóN DIFERENCIAL HOMOGéNEA CON COEFICIENTES CONSTANTES Y m(x)=0,

según la ecuación diferencial de segundo orden y"+a_1 (x)y'+a_2 (x)y=m(x)

Ecuación característica m^2-10m+25=0

(m-5)(m-5)=0

m-5=0 y m-5=0

m=5 y m=5

entonces la solución general es y=C_1 e^mx+C_2 xe^mx ya que las soluciones son iguales y reales

y=C_1 e^5x+C_2 xe^5x

b. y´´-y´-6y=0

ES UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA CON COEFICIENTES CONSTANTES Y m(x)=0,

según la ecuación diferencial de segundo orden y"+a_1 (x)y'+a_2 (x)y=m(x)

Ecuación característica m^2-m-6=0

(m-3)(m+2)=0

m-3=0 y m+2=0

m_1=3 y m_2=-2

y_1=e^(m_1 x)=e^3x y_2=e^(m_2 x)=e^(-2x)

entonces la solución general es y=C_1 e^(m_1 x)+C_2 xe^(m_2 x)

y=C_1 e^3x+C_2 xe^(-2x)

Resolver la siguiente ecuación diferencial

x^2 y´´+xy´+y=0

con la transformación x=e^t ,suponiendo x>0 se tiene t=lnx

reducimos la ecuación x^2 y´´+xy´+y=0 a una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes

y^'=dy/dx=dydt/dtdx t=lnx → dt/dx=1/x

y^'=dy/dx=dy/xdt

se halla la derivada de un producto:

y^''=(d^2 y)/(dx^2 )=1/x ((d^2 ydt)/(dt^2 dx))-1/x^2 dy/dt → dt/dx=1/x

reeplazo dt/dx → y^''=1/x ((d^2 y)/(dt^2 ) 1/x)-1/x^2 dy/dt

elimino parentesis → y''=1/x (d^2 y)/(dt^2 )-1/x^2 dy/dt

factorizo → y''= 1/x^2 ((d^2 y)/(dt^2 )-dy/dt)

reemplazo y^' y y^'' → x^2 [1/x^2 ((d^2 y)/(dt^2 )-dy/dt) ]+x[dy/xdt]+y=0

(d^2 y)/(dt^2 )-dy/dt+dy/dt+y=0

(d^2 y)/(dt^2 )+y=0 → ecuación característica (m=dy/dt): m^2+1=0

m^2=-1 → m=±√(-1)=±i

las soluciones son raíces complejas conjugadas: m_1=α+βi m_2=α-βi

α=0 β=1

m_1=i m_2=-i

la solución general es: y=C_1 e^αt cos⁡(βt)+C_2 e^αt sen⁡(βt)

y=C_1 cos⁡t+C_2 sen⁡t

y=C_1 cos⁡(lnx)+C_2 sen⁡(lnx)

Considere una masa de 10 Kg que

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