UNIDAD I. ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA.

UNIDAD I.

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA.

I.- La Recta Numérica Real.

En la geometría analítica un concepto fundamental es la representación de todos los números reales mediante puntos en una recta. Los números reales son todos los números positivos, negativos y el cero. Para realizar la representación que se desea, se traza una línea recta y se elige un punto 0 (cero) de la misma, al que llamaremos origen, que nos representa el número cero, a la derecha de éste tenemos los números positivos y a la izquierda tenemos a los números negativos.

La recta cuyos puntos corresponden a los números reales, se denomina recta numérica real.

El punto al que le corresponde un número en la recta se denomina coordenada del punto.

II.- Coordenadas Rectangulares.

A un par de números (x, y) en el cual es importante tener un orden, se les conoce como un par ordenado de números.

Se trazan, una recta horizontal 0X a la cual llamaremos eje X y una recta vertical 0Y a la que denominas eje Y, considerando juntos al eje X y al eje y tenemos lo que se conoce como los ejes coordenados, y al plano que se determina por los ejes coordenados se le llama PLANO COORDENADO.

Al eje de las X también se le conoce como el eje de las abscisas y al eje de las Y se le conoce como eje de las ordenadas.

A cada punto del plano le corresponde un par definido de coordenadas, a la relación que existe de puntos sobre un plano y pares de números reales se llama correspondencia de uno a uno. A la manera descrita para obtener la mencionada correspondencia se le llama sistema de coordenadas rectangulares.

III.- Pendiente de una Recta y Distancia entre dos puntos.

Definición.

La pendiente de una recta es el ángulo de inclinación de la misma.

Una recta inclinada hacia la derecha tiene una pendiente positiva y una recta inclinada hacia la izquierda tiene una pendiente negativa, una recta vertical no tiene pendiente.

Para obtener la pendiente de una recta dados dos puntos se utiliza la siguiente expresión:

        m =

Con esta fórmula se obtiene la pendiente si los puntos están en una recta inclinada u horizontal, el denominador se hace cero cuando los puntos están colocados en una recta vertical, lo cual esta relacionado con el hecho de que para una recta vertical la pendiente no esta definida.

Para obtener la distancia entre dos puntos, se realiza la diferencia de las abscisas y el resultado se eleva al cuadrado y se le suma la diferencia de las ordenadas al cuadrado y se obtiene la raíz cuadrada de la suma. La fórmula es la siguiente:

        [pic 1] 

Ejercicios.

1.- Con los pares de puntos siguientes:

[pic 2]                [pic 3]        [pic 4]

Obtener la pendiente y la distancia entre ellos.

IV.- La Recta.

En coordenadas cartesianas cada recta está determinada por una ecuación de primer grado y, de manera reciproca, cada ecuación de primer grado determina siempre una recta.

1.- Ecuación General de la Recta.

La ecuación de la forma:

        Ax + By + C = 0

Es la que se conoce como ecuación general de la recta.

Al despejar a la variable y de la expresión anterior nos queda lo siguiente:

        y = [pic 5]

Al separar los elementos tenemos que:

        y = [pic 6] x  [pic 7]

Si hacemos que:

        m = [pic 8]        y        b = [pic 9]

Entonces la ecuación nos queda de la siguiente manera:

        y = mx + b

Que es la ecuación que se conoce como pendiente ordenada al origen.

Para obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos, la fórmula es la siguiente:

        y − y1  =  (x − x1)

Y como ya sabemos que:

        m =

Entonces la ecuación anterior nos queda de la siguiente manera:

        y − y1 = m (x − x1)

Ecuación que se conoce como punto pendiente.

La condición que se debe de cumplir para que dos rectas sean paralelas, es que sus pendientes sean iguales.

Asimismo, la condición para que dos rectas sean perpendiculares es que la pendiente de una sea el recíproco negativo de la pendiente de la otra, en términos matemáticos es lo siguiente:

        m2 = −

Ejercicios.

1.- Con los siguientes pares de puntos:

[pic 10]

Obtener:

a.- La ecuación de la recta.

b.- Una ecuación que sea paralela que pase por el punto (2,3).

c.- Una ecuación que sea perpendicular y que pase por el punto (4,7).

II.- Ecuaciones de Segundo Grado

1.- La Circunferencia.

Definición.

Una circunferencia es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano a una distancia constante de otro punto fijo. El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia constante se llama radio.

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