El cálculo diferencial
Enviado por roster111 • 6 de Junio de 2013 • Tutorial • 5.283 Palabras (22 Páginas) • 309 Visitas
Cálculo diferencial
El cálculo diferencial es una parte del análisis de expresion oral que consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objeto del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.
En el estudio del cambio de una función, es decir, cuando cambian sus variables independientes es de especial interés para el cálculo diferencial el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.
Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de en cada punto . Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.
ANTIDERIVADAS
La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.
Por ejemplo:
Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).
La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.
Notación
La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la siguiente:
Teorema
Si dos funciones h y g son antiderivadas de una misma función f en un conjunto D de números reales, entonces esas dos funciones h y g solo difieren en una constante.
Conclusión: Si g(x) es una antiderivada de f en un conjunto D de números reales, entonces cualquier antiderivada de f es en ese conjunto D se puede escribir como c constante real.
Fórmula que relaciona la integral definida y la indefinida
A la hora de resolver una antiderivada o integral indefinida se deben tener disponibles los recursos aritméticos y heurísticos. Estos son:
• Concepto.
• Propiedades.
• Reglas de integración.
• Integrales inmediatas.
• Métodos clásicos de integración:
-Integración por sustitución.
-Integración por partes.
-Integración de fracciones racionales mediante fracciones simples.
• Uso de tablas.
• Integración de funciones trigonométricas sencillas.
• Integración de funciones racionales sencillas.
• El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.
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• Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.
• Pasos para integrar por cambio de variable
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• 1º Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:
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• Se despeja u y dx, sutituyendo en la integral:
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• 2º Si la integral resultante es más sencilla, integramos:
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• 3º Se vuelve a la variable inical:
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• Ejemplo
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• Cambios de variables usuales
• 1.
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• 3.
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• 5. En las funciones racionales de radicales con distintos índices, de un mismo radicando lineal ax + b, elcambio de variable es t elevado al mínimo común múltiplo de los índices.
• 6. Si es par:
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• 7. Si no es par:
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• Ejemplos
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• El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:
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• Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.
• Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.
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• Ejemplos
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• Si al integrar por partes tenemos un polinomio de grado n, lo tomamos como u y se repite el proceso n veces.
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• Si tenemos una integral con sólo un logaritmo o un "arco", integramos por partes tomando: v' = 1.
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• Si al integrar por partes aparece en el segundo miembro la integral que hay que calcular, se resuelve como una ecuación.
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• En ocasiones de manera directa no se pueden realizar las integrales, en otras ocasiones parece ser que pudiéramos integrar de manera inmediata debido a que a primera inspección encontramos
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