Modelos matematicos

MODELOS MATEMÁTICOS[pic 1][pic 2]

Introducción

Un modelo matemático es una de las herramientas más interesantes que actualmente disponemos para analizar y predecir el comportamiento de un sistema biológico en la construcción y posterior simulación. Por tanto, un modelo es la representación de un proceso. Si en un fenómeno biológico se conocen los procesos internos y las relaciones entre ellos, entonces es posible conocer las ecuaciones que lo describan y a las que llamaremos un modelo matemático del fenómeno biológico. En los modelos, las representaciones pueden hacer uso de distintos recursos, como ideas, palabras, gráficos, elementos físicos, o incluso herramientas matemáticas, desde las más simples hasta las más sofisticadas (Torres, 2015).

Un objetivo importante que se pretende con la modelización matemática es contribuir a la comprensión de fenómenos reales. Los modelos matemáticos son utilizados para analizar la relación entre dos o más variables. Pueden ser utilizados para entender fenómenos naturales, sociales y físicos. Dependiendo del objetivo buscado y del diseño del mismo modelo pueden servir para predecir el valor de las variables en el futuro, hacer hipótesis, evaluar los efectos de una determinada política o actividad (Torres, 2015).

Elementos básicos de un modelo matemático

Los modelos matemáticos pueden variar en cuanto a su complejidad, pero todos ellos tienen un conjunto de características básicas:

Variables: Son los conceptos u objetos que se busca entender o analizar.

Parámetros: Se trata de valores conocidos o controlables del modelo.

Restricciones: Son determinados límites que nos indican que los resultados del análisis son razonables.

Relaciones entre las variables: El modelo establece una determinada relación entre las variables apoyándose en teorías (económicas, físicas y químicas).

Representaciones simplificadas: Una de las características esenciales de un modelo matemáticos es la representación de las relaciones entre las variables estudiadas a través de elementos de las matemáticas tales como: funciones, ecuaciones y fórmulas.

MODELOS MATEMÁTICOS PARA EL MANEJO DEL RIEGO Y NUTRICIÓN

En la producción de hortalizas en ambientes protegidos los modelos son necesarios para optimizar la producción (Marcelis et al., 2006). Aunque existen diversos estudios que involucran la modelación del crecimiento de cultivos en invernadero (De Gelder et al., 2005; Marcelis et al., 2009), estos modelos no consideran las relaciones nutricionales para el manejo eficiente de la nutrición mineral del cultivo, o se basan en las variaciones de la concentración de los minerales en la solución nutritiva recirculante o en el drenaje (Massa et al., 2011). En cuanto al riego, existen diferentes estudios para determinar las necesidades hídricas del cultivo, algunos de ellos basados en métodos como el de Prietsley-Taylor el cual es una versión simplificada de la combinación del método aerodinámico y el de balance de energía con la particularidad de usarse para grandes superficies de evaporación (Valdés-Gómez et al., 2009), Penman-Monteith (Rojas et al., 2003; Harmanto et al., 2005), o bien en metodologías fundamentadas en balances de energía (Boulard y Wang, 2000).

Para la simulación del riego por superficie es importante conocer las características del problema a resolver ya que cada modelo matemático ofrece limitaciones en su resolución. Así los modelos hidrodinámicos y de inercia-cero ofrecen soluciones para todos los casos del riego por superficie, mientras que el modelo de onda-cinemática se limita a surcos o melgas donde se cumple: a) la pendiente superficial de terreno es mayor a 0,0001 m m-1 y b) si el agua escurre o drena libremente al final de la unidad de riego.  

Existe una gran cantidad de aplicaciones (software) para el diseño y operación del riego por superficie, pero muy pocas han sido efectivamente utilizadas. Entre los modelos de mayor difusión y aplicación a nivel mundial podemos citar a: SIRMOD (Walker, 2003) y WinSRFR (USDA, 2009; Bautista et al 2009a; Bautista et al 2009b). Los modelos y sus aplicaciones han permitido sistemáticamente mejorar el diseño y la  operación  de  los métodos de  riego, pudiendo  ser usados  en el manejo  del riego  en tiempo real (Losada Villasante y Roldan Cañas, 2009). El desempeño de riego potencial, indica el grado de aprovechamiento máximo u óptimo que puede alcanzar el método de riego, se caracteriza según Burt, 1997; Morábito, 2003:

[pic 3]

Donde: EAPM: eficiencia de aplicación potencial según manejo del método de riego (%)

db: lámina bruta aplicada en el riego, optimizada

drop: lámina de riego o reposición óptima a aplicar en el riego

La eficiencia de aplicación potencial según balance salino  del suelo se obtiene como la  relación entre la lámina media infiltrada y almacenada en la zona radical y lámina media aplicada en  el  riego, considerando  el requerimiento  de lixiviación, el balance  salino se evalúa con la metodología de Van Der Molen (1983).

[pic 4]

Donde: EAPS: eficiencia de aplicación potencial según balance salino (%)

db: lámina de riego bruta, altura de agua aplicada al suelo mediante el riego, necesaria para satisfacer las necesidades netas de los cultivos y la percolación en profundidad de las sales presentes en el agua y suelo (Van Der Molen 1983).

Para tal fin inicialmente se define para cada caso mediante el modelo SIRMOD el rango de caudales y tiempos de aplicación razonables para cada escenario de optimización, posteriormente se procede a la resolución de los múltiples escenarios planteados para cada caso mediante el módulo “Operations Analisis” del modelo WINSRFR, finalmente se validan sus resultados nuevamente con el modelo SIRMOD.

El análisis estadístico ejecutado es el análisis de la varianza unifactorial y prueba de comparaciones múltiples de Scheffé para un nivel de significancia del 5%. En caso de falta de normalidad de los datos a analizar se procede al análisis de estos mediante el test de Kruskal-Wallis.  Se utiliza el software   STATGRAPHICS Plus 5.1 (Statistical Graphics  Corp., 2000).

Ejemplos obtenidos:

[pic 5]

Figura 1. Considerando que se quiere reponer una lámina de 50 mm en surcos con desagüe al pie, con una longitud de 150 m, en un suelo cuya infiltración básica es de 8,69 mm h-1 y con pendiente de riego de 0,0172 mm m-1, sería posible lograr una EAP aproximada del 63% utilizando un caudal de 0,35 L.s-1 si se aplica durante un tiempo de 1450 minutos, generando una EDIa de 75%, Pp de 22% y Ep de 15%.

...