ACTIVIDAD 14 TRABAJO COLABORATIVO 3

ACTIVIDAD 14

TRABAJO COLABORATIVO 3

LENNIS YAJAIRA LEAL -

ANA PATRICIA GOMEZ DAZA -

NELSON FABIAN CARDONA PARRA - 1120865792

GRUPO - 331

CURSO:

CALCULO DIFERENCIAL

TUTOR:

WILSON IGNACIO CEPEDA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD

Noviembre 21 de 2013

Introducción

El cálculo es una rama de las matemáticas muy utilizado en ciencias, tecnología, ingeniería e investigación, ya que a través de este, se estimulan y desarrollan diversas habilidades y competencias. Pero para que esto se cumpla, es necesario un trabajo planificado y sistemático y sobretodo en quipo.

Con el desarrollo del presente trabajo se busca que los estudiantes del curso profundicen los conocimientos adquiridos durante el reconocimiento de la unidad 3, en especial métodos para resolver derivadas, reglas como la L’ Hopital y los análisis de las mismas. Por lo tanto, se desarrollaron una serie de ejercicios relacionados con derivadas, explicando el procedimiento y empleando el editor de ecuaciones.

Ejercicios Planteados

FASE I

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva:

y= 1/(x-1) en el punto (2,1)

Solución Ejercicio:

Primero calculamos la pendiente m, para luego determinar la ecuación de la recta tangente en dicho punto.

m= lim┬(h →0)⁡〖(f (x+h)- f (x))/h〗

m= lim┬(h →0)⁡〖(1/((x+h)- 1)- 1/(x-1))/h= lim┬(h →0)⁡〖((x-1-[(x+h)-1])/([(x+h)- 1](x-1)))/h〗 〗

m= lim┬(h →0)⁡〖((x-1-x-h+1)/((x+h- 1)(x-1)))/h= lim┬(h →0)⁡〖((- h)/(x^2- x+hx-h-x+1))/h〗 〗

m= lim┬(h →0)⁡〖((- h)/(x^2- 2x+hx-h+1))/h〗

Aplicando la ley de la oreja,

m= lim┬(h →0)⁡〖-1/(x^2- 2x+hx-h+1)〗

Evaluando el límite:

m= lim┬(h →0)⁡〖-1/(x^2- 2x+0 (x)- 0+1)= - 1/(x^2- 2x+1)〗

Por lo tanto,

m= -1/(x^2- 2x+1)

En el punto P (2, 1), la pendiente será:

m= -1/((2)^2- 2(2)+1)= - 1/(4-4+1)

m=- 1/1= -1

La ecuación por ser lineal es de la forma y=mx+b, como conocemos m, entonces reemplazamos el punto que se conoce en dicha ecuación para hallar el intercepto b, entonces:

1= -1 (2)+b

Despejando b,

1= -2+b

b=1+2

b=3

La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado quedara de la forma:

y= -x+3

Si h (x)= x/√x halle el valor de h^'' (4)

Solución Ejercicio:

h^' (x)= (√x- [x* 1/(2 √x)])/((〖√x)〗^2 )= (√x- x/(2 √x))/x= ((2 (√x)^2-x)/(2 √x))/x

h^' (x)= ((2x-x)/(2 √x))/x= x/(2 x √x)= 1/(2 √x)

Ahora procedemos a calcular la segunda derivada de la función.

h^'' (x)= (0*2√x- (2/2 x^(-1/2)))/〖( 2 √x)〗^2 = ((- 1)/√x)/(4 x)= - 1/(4 x √x)

h^'' (4)=(-1 )/(4 (4) √4)= -1/32

Hallar la derivada de las siguientes funciones:

f (x)= 〖sin〗^2 (2x)

Solución Ejercicio:

Sabemos que la derivada de

y= sin⁡〖x, es〗

y^'=〖x^' cos〗⁡x

Entonces,

f (x)= 〖sin〗^2 (2x)

Para derivar el 2 elevado en seno se saca y se eleva toda la función al cuadrado.

f^' (x)= 〖(sin (2x))〗^2=2 sin⁡〖(2x)*cos⁡〖(2x)*2〗 〗

f^' (x)= 4 sin⁡〖(2x)*cos⁡(2x) 〗

FASE II

f (x)= ln⁡〖x^7 〗/ln⁡〖x^3 〗

Solución Ejercicio:

Sabemos que,

f (x)= ln⁡〖x, f^' (x)= x^'/x〗

Por lo tanto:

f^' (x)= ( (7x^6)/x^7 ln⁡〖x^3 〗- [ln⁡〖x^7* (3x^2)/x^3 〗 ])/〖(ln⁡〖x^3)〗〗^2 = ((7 ln⁡〖x^3 〗)/x- (3 ln⁡〖x^7 〗)/x)/〖(ln⁡〖x^3)〗〗^2

f^' (x)= ((7 x ln⁡〖x^3- 3 x ln⁡〖x^7 〗 〗)/x^2 )/〖(ln⁡〖x^3)〗〗^2 = (x (7 ln⁡〖x^3 -3 ln⁡〖x^7)〗 〗)/(x^2 〖(ln⁡〖x^3)〗〗^2 )

f^' (x)= (7 ln⁡〖x^3- 3 ln⁡〖x^7 〗 〗)/(x 〖(ln⁡〖x^3)〗〗^2 )

f (x)= x/e^x

Solución Ejercicio:

Sabemos que,

f (x)=x, f^(' ) (x)= 1

f (x)= e^x f^' (x)= e^x

Entonces:

f^' (x)= (1* e^x- (x* e^x))/〖(e^x)〗^2 =(e^x- x e^x)/〖(e^x)〗^2

f^' (x)= (e^x (1-x))/〖(e^x)〗^2 = (1-x)/e^x

Derivadas de orden superior:

Hallar la tercera derivada de: f (x)= e^x* ln⁡x

Solución Ejercicio:

Donde,

f (x)= e^x f^' (x)= e^x

Lo primero que haremos

...