Analizas la teoria de conjuntos y sus aplicaciones.

INTRODUCCIÓN

La teoría de conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente a un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos.

La importancia de la Teoría de conjuntos radica en que a partir de ella se puede reconstruir toda la matemática, saldo la Teoría de Categorías.

En el siguiente trabajo explicaremos temas, tales como datos históricos, conceptos básicos, sus distintos enfoques, además de algunas propiedades que facilitan el cálculo de la probabilidad en un evento simple o compuesto.

CONJUNTOS

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor es conocido como el padre de la Teoría de conjuntos, la cual es un instrumento matemático útil para la sistematización de nuestra forma de pensar y permite la capacidad de análisis y compresión de interrelaciones que existe entre todas las partes de un problema para encontrar su solución.

CONJUNTO

Un conjunto es una agrupación o colección de objetos de cualquier tipo que tienen una característica o propiedad en común. A tales objetos se les llamó elementos del conjunto.

*Los conjuntos se simbolizan con una letra mayúscula y se encierran entre llaves                                  

({  }) los elementos que pertenecen a éstos, separados por una coma.

Ejemplo:

A= {2, 4, 6,8}

FORMA DE REPRESENTAR UN CONJUNTO

Hay tres formas de representar los conjuntos, por medio del:

[pic 2]

Se le conoce por extensión, a la representación de todos los elementos en forma explícita, separados por una coma y encerrados entre llaves.

Ejemplo:

A= {Manzana, Mora, Fresa, Sandia, Naranja, Durazno}

Cuando se trata de un conjunto muy grande como el del conjunto de los números naturales menores que 101, es conveniente anotar los primeros y los últimos elementos, escribiendo puntos suspensivos en la parte central, como se muestran a continuación:

F= {1,2,3,4,5,6,7, …, 94,95,96,97,98,99,100}

O bien, si se trata de un conjunto infinito como es el caso de los números naturales, escribimos los puntos suspensivos hacia el final.

N= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, …}

También se puede representar por compresión, la cual consiste en enunciar la propiedad que las distingue a los elementos del conjunto.

Ejemplo:

A= {X / X es un número par menor que 10}

Otra forma de representar un conjunto es mediante un Diagrama de Venn, no es más que la representación gráfica de los conjuntos.

[pic 3] John Venn fue un matemático y lógico de origen británico. Es particularmente conocido por su método de representación gráfica de proposiciones y que, a la postre, fue utilizado para mostrar visualmente las operaciones más elementales de la teoría de conjuntos.

CONJUNTO UNIVERSAL

El conjunto universal consta de todos los elementos a los que se puede referir el análisis de un cierto problema; puede referirse al conjunto de todos los números reales, ya que los números pertenecientes al conjunto A son de este tipo.

También se utiliza la letra  Ω (omega) del alfabeto griego para simbolizarlo.

Al elegir el conjunto universal se debe considerar que:

• No es único, vería según la naturaleza del problema que se analice.
• Tampoco es único para el mismo conjunto, pues podemos ampliarlo o reproducirlo según convenga.

CONJUNTO VACÍO

Es un conjunto que carece de elementos. Este conjunto se suele llamar conjunto nulo. Se simboliza con la letra noruega Ø.

Ejemplo:

Ø = {x| x es un número impar indivisible entre 2} = {  }

Observamos que entre las llaves no enlistamos ningún elemento.

CONJUNTO UNITARIO

El conjunto unitario se distingue por tener un solo elemento. No importa qué tipo de elemento tenga el conjunto, un perro, un número, una letra, o cualquier otra cosa, si tiene un solo elemento se le conoce conjunto unitario.

Ejemplo:

E= {x|x es un estado de la República Mexicana, cuyo nombre inicia con la letra V} = {Veracruz}

CONJUNTO DE CONJUNTOS

Es un conjunto que a su vez está formado por conjuntos, es decir, sus elementos son conjuntos.

Ejemplo:

Un año es un conjunto de conjuntos porque el año es un conjunto de meses, mientras que los meses son un conjunto de semanas y las semanas son un conjunto de días, etc.

SUBCONJUNTO

Si todo elemento de un conjunto A es también elemento de un conjunto B, entonces se dice que A es un subconjunto de B. Más claro: A es un subconjunto de B si

X ∈ A implica x ∈ B. se denota esta relación escribiendo:

A  ⊂  B

Que también se puede leer “A esta contenido en B”

Ejemplo:

Sea B= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, entonces A= {2,4,6,8} es un subconjunto de B porque cada elemento de A también está en B.

Dos casos especiales

Existen dos propiedades importantes derivadas del concepto de subconjunto que debes tener presente:

Todo conjunto es subconjunto de sí mismo, es decir A ⊂ A

El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto, es decir, Ø⊂A

COMPLEMENTO

El complemento de un conjunto de A es un conjunto que está formado por todos los elementos del conjunto universal que no está en A. Se denota por Ac.

Ac= {x ∈ U | x∉A}

Lo cual se lee como: “El complemento de A es el conjunto de todas las x que pertenecen al conjunto universal U tal que x no pertenece con conjunto de A”

Ejemplo:

Considera como conjunto universal al formado por los nombres de los días de la semana, es decir:

U= {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

Y sea F el conjunto constituido por los días que conforman un fin de semana, es decir, sábado y domingo, entonces:

F= {sábado, domingo}

Por lo tanto, el complemento de F serán los días hábiles de la semana:

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