COMO SE DA EL MODELO MATEMATICO DE LA MAQUINA TRIFASICA DE INDUCCION

MÁQUINA TRIFASICA DE INDUCCION

Ana Bastidas

Clase de Máquinas Eléctricas,Departamento de Energía Eléctrica, Escuela Politécnica Nacional

Quito, Ecuador

ana.bastidas@epn.edu.ec

Abstract.-

Las máquinas de inducción al operar como motor no requiere de una conmutación mecánica, pues la corriente eléctrica del rotor es generada por inducción electromagnética. Estas máquinas son muy usadas debido a los bajos costos en mantenimiento  y operación, pues pueden operar directamente conectadas a la red eléctrica. El análisis matemático de este tipo de maquina es primordial para garantizar el funcionamiento adecuado de motores trifásicos de inducción, cabe recalcar que aplicar el modelamiento de la máquina de inducción en este documento a la construcción de máquinas reales, ofrece un comportamiento aproximado de sistema rea, el cual al trabajar a velocidades cercanas a la síncrona en estado estable.

1. INTRODUCCION

Las siguientes ecuaciones se refieren a un motor de inducción con  entre hierro uniforme, circuito magnético ideal, devanados de estator idénticos y corrientes del rotor equilibradas

1. Ecuaciones equivalentes para un motor de inducción con fasores espaciales y velocidad constante, wλ

Las siguientes ecuaciones muestran las cantidades por fases:

[pic 1]

[pic 2]

Aplicando la transformación respectiva, se puede obtener su equivalente en cuadratura:

[pic 3]

Donde N puede ser un fasor de corriente, voltaje, flujo

1. Ecuaciones para modelo de máquina de inducción en coordenadas primitivas

[pic 4]

[pic 5]

Donde:

[V]        Vector formado por las tensiones aplicadas a las bobinas de la maquina

[i] vector de las corrientes que circulan por las bobinas

[e] vector de las fuerzas electromotrices conservativas inducidas por el acoplamiento magnético

[R]  matriz cuadrada con las resistencias de cada bobina en la diagonal principal

τe     Par de origen electromagnético

τm     par de origen mecánico aplicado por la carga

Wm        velocidad angular mecánica

J        inercia total asociada al eje mecánico de rotación

        Coeficiente de fricción[pic 6]

Suponiendo         que el material ferromagnético es completamente isotrópico y que no se satura se puede obtener lo siguiente:

[pic 7]

Donde:

[]        Inductancias debidas a los acoplamientos propios y mutuos entre las bobinas del estator[pic 8]

[]        Inductancias debidas a los acoplamientos propios y mutuos entre las bobinas del rotor [pic 9]

[]        Inductancias debidas a los acoplamientos mutuos entre las bobinas del rotor y estator.[pic 10]

Añadiendo el flujo de dispersión a la bobina excitadora se puede obtener lo siguiente para inductancias propias del estator y rotor:

Para el estator:
[pic 11]
[pic 12]

Para el rotor:

[pic 13]

[pic 14]

Al observar el flujo de acoplamiento entre bobinas, se observa que es necesario añadir el Angulo θ, asi:

[pic 15]

Para  obtener el vector de fuerzas electromotrices [e], se deriva el vector de flujo con respecto al tiempo, aplicando la ley de Faraday a un circuito acoplado magnéticamente:

[pic 16]

Donde:

[]        fuerzas electromotrices de transformación, por la variación de corrientes[pic 17]

[]        fuerzas electromotrices de generación, por corte de los enlaces de flujo por las bobinas en movimiento[pic 18]

        velocidad angular del rotor [pic 19]

P         operador de derivada temporal

1. Energía y par eléctrico

Partiendo de las derivadas parciales de la matriz de las inductancias del motor se obtiene que:

[pic 20]

Y la coenergía en el campo del motor es:

[pic 21]

[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]

Reemplazando las ecuaciones de coenergía y generación de energía para obtener el par eléctrico tenemos que:

[pic 25]
[pic 26]
[pic 27][pic 28]

1. Modelo de la máquina de inducción mediante métodos variacionales

 Considerando que los conductores de las bobinas poseen resistencia eléctrica, presentes en la fricción de rotación del eje, se pueden obtener las siguientes expresiones:

• Para los ejes eléctricos

[pic 29]

[pic 30]
[pic 31]

• Para el eje mecánico

[pic 32]
[pic 33]
[pic 34]

Cuando existe linealidad entre los enlaces de flujo y las corrientes en el sistema alternativo de coordenadas generalizadas tenemos que:

 [pic 35]
[pic 36]

1. Modelo de la máquina de inducción mediante ejes dq0.

El cambio de variables que define el paso a unos ejes definidos en una referencia arbitraria es el siguiente:

[pic 37]

Dónde cada término se corresponde con:

[pic 38]

[pic 39]

Donde w es la velocidad de giro del sistema de referencia [rad/s]. Está velocidad no se especifica ya que el sistema de referencia es arbitrario y por lo tanto esta velocidad se puede seleccionar como una velocidad fija, o variable dependiendo del fin que se busque.

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