ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO

ECUACIONES E INECUACIONES

1. INTRODUCCIÓN

Una ecuación es una igualdad de la que se desconocen uno o más valores. Resolver la ecuación es hallar él o los valores de la incógnita que, cuando los reemplazamos en la ecuación, la igualdad se cumple. Una inecuación es una desigualdad de la que se desconoce un conjunto de valores. Resolverla es determinar cuál es el conjunto de valores que verifican la desigualdad. El conjunto solución de una inecuación, generalmente se expresa como intervalo.

2. ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Veamos cómo resolver una ecuación de primer grado con algunos ejemplos prácticos. Se irán describiendo en los ejemplos los pasos que se van dando.

Supongamos la siguiente ecuación de primer grado:

3. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Ya sabemos que toda expresión del tipo ax2 + bx + c=0 (donde a, b y c son números) es una ecuación de segundo grado. Resolver esta ecuación consiste en encontrar los valores de x que hacen que la expresión sea cierta.

Por ejemplo en la ecuación de segundo grado x2–2x–3=0 las soluciones son los números x =–1 y x =3 pues son los únicos que al sustituirlos en x2–2x–3 hacen que esa expresión sea igual a cero. Veámoslo:

Para calcular estos valores basta con aplicar la fórmula

Mucho cuidado pues al sustituir a, b y c por los valores correspondientes hay que tener en cuenta los signos de estos.

4. INECUACIONES DE PRIMER GRADO

Ya sabemos que para resolverlas hay que aplicar los mismos pasos que para resolver ecuaciones. Hagamos alguna

Aquí está la única diferencia con el modo de trabajar en las ecuaciones. En una ecuación cambiaríamos sencillamente el signo y ya está. Pero en inecuaciones esto va a implicar algo más.

Cuando en una inecuación la incógnita tiene un signo negativo se lo cambiamos (porque nosotros queremos saber los valores de x no de –x) pero ese cambio de signo implica además el cambio del símbolo de la inecuación.

En el caso que nos ocupa -x≤17 luego será x≥-7.Esta es la solución de la inecuación, escrita en forma de intervalo será [17 , +∞) , es decir , todos los números mayores que 17 y también el 17.

SISTEMAS DE INECUACIONES

Un sistema de inecuaciones no es más que una pareja de inecuaciones de primer grado que deben cumplirse a la vez

Según esto resolver el sistema consiste simplemente en resolver , por separado, cada inecuación de primer grado y luego comparar las soluciones para buscar sólo aquellas que cumplan las dos inecuaciones a la vez.

Si tenemos el sistema {█(3x<6@x-1>0)┤ las soluciones son {█(x<2@x>1)┤

Tenemos por un lado los números menores que dos y por otro los números mayores que uno. Las soluciones del sistema serán sólo los números que sean , a la vez , menores que dos y mayores que uno . Estos números son los comprendidos entre uno y dos.

5. ESTUDIO DE SIGNOS

Las inecuaciones se usan a veces para conocer los valores que hacen que una expresión sea positiva o negativa.

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