Ejercicios: Teoria De Colas

A) MODELO BASICO: UNA COLA UN SERVIDOR (M/M/1)

1. Si en un sistema de colas la tasa promedio de llegada es de 1 cliente por cada 3 minutos, determine el valor de . Si la tasa media de servicio es de 1 cliente por cada 2 minutos, determine el valor de .

2. Con los datos del ejercicio 1, determine:

a. Utilización del sistema (U).

b. Probabilidad de que un cliente no tenga que esperar (el sistema esté vacío) (Po).

c. Probabilidad de encontrar 1, 2 o 3 clientes en el sistema (P1, P2, P3).

d. Longitud de la cola (Lq).

e. Cantidad esperada de clientes en el sistema (L).

f. Tiempo promedio de espera de un cliente (Wq).

g. Tiempo del cliente en el sistema (W).

3. Dada una tasa de llegada de 30 clientes por hora y una tasa promedio de servicio de 40 clientes por hora, determine:

a. Probabilidad de que se encuentre 0, 1, 2 3 o 4 clientes en el sistema.

b. Numero promedio de clientes en el sistema.

c. Numero promedio de clientes en la cola

d. Tiempo promedio de clientes en el sistema.

e. Tiempo promedio de clientes en la cola.

4. En una farmacia se desea determinar el número de cajeros que deben utilizar en las horas picos. La Gerencia ha observado que los clientes llegan en promedio cada 4 minutos y el tiempo para atender el cliente es de 2 minutos. Se quiere determinar:

a. La utilización de la caja actualmente en operación.

b. Probabilidad de que un cliente sea atendido inmediatamente al llegar a la farmacia.

c. Probabilidad de que un cliente que llegue a la farmacia encuentre una cola de 1, 2, 3, o 4 personas.

d. Numero esperado de clientes en el sistema.

e. Longitud promedio de la cola.

f. Tiempo promedio que un cliente permanece en el sistema.

g. Tiempo promedio que un cliente espera en la cola antes de ser atendido.

h. ¿En qué momento se debe utilizar otro cajero adicional?

i. ¿Cuántos cajeros se deben tener si se desea que el cliente permanezca 2 minutos en el sistema?

5. En la sala de fotocopiado de una empresa de la región los usuarios llegan a la fotocopiadora y se forman en una cola sencilla. Cada usuario que llega usa la fotocopiadora para una tarea específica. Estos trabajos varían desde obtener una copia de una carta de una página hasta el de sacar 100 copias de un reporte de 5 páginas. Este sistema se llama línea de espera de servicio sencillo (o de canal simple). El tiempo entre llegadas (min.) se puede modelar a través de una distribución exponencial con λ = 0,05, y el tiempo de servicio (min.) se ajusta a una distribución exponencial con µ = 0,10. Para este sistema determine:

a. Número esperado de personas en el sistema.

b. Número esperado de personas en la cola.

c. Tiempo previsto en el sistema.

d. Tiempo previsto en la cola.

e. Utilización del sistema.

f. Probabilidad de que la fotocopiadora no se esté utilizando.

g. ¿Cuántas personas se sacan copias en un día de trabajo de 8 horas?

6. Un transportador de bandas alimenta unidades de un producto a una estación de trabajo para su empaque. Cada unidad se empaca por separado y en el orden de su llegada a la estación de trabajo. Las unidades se empacan a una tasa constante de 500 por hora. La tasa de alimentación del transportador es una constante de 400 por hora. Sin embargo, las unidades no están igualmente espaciadas en el transportador. La naturaleza aleatoria del espaciamiento entre unidades en el transportador es tal que el tiempo entre llegadas sucesivas se puede tratar como distribuido exponencialmente con una tasa media de llegada de 400 por hora. Determine e intérprete:

a. El valor de λ.

b. La tasa media de llegadas.

c. El valor de µ.

d. El tiempo medio de servicio.

e. La tasa media de servicio.

f. La cantidad esperada de unidades en el sistema.

g. La cantidad estimada de unidades en la cola de espera.

h. El tiempo estimado en el sistema.

i. El tiempo medio en la cola de espera.

j. La probabilidad de que el sistema este vacío.

k. El factor de utilización del sistema (ρ = λ/µ).

7. En el puerto de San Félix llegan las Chalanas a razón de una cada dos horas, en promedio. Si el intervalo de tiempo tiene una distribución exponencial:

a. ¿Cuál es el valor de λ?

b. ¿Cuál es el tiempo medio entre llegadas?

c. ¿Cuál es la razón media de llegadas?

8. En el servicio de Cedulación de personas un funcionario del SAIME podría procesar un promedio de 120 personas que llegan durante sus 8 horas de servicio si estuviese constantemente ocupado. Si el tiempo necesario para procesar una cédula de identidad es una variable aleatoria con distribución exponencial:

a. ¿Cuál es el valor de µ?

b. ¿Cuál es el tiempo medio de servicio?

c. ¿Cuál es la tasa media de servicio?

9. Considere el servicio de cedulación planteado en el ejemplo anterior. Suponiendo que el modelo básico es una aproximación razonable de la operación, recuerde que si el funcionario estuviese ocupado todo el tiempo procesaría 120 cedulas de identidad durante su turno de 8 horas. Si a su puesto de trabajo llega un promedio de una persona cada 6 minutos, encuentre:

a. El número de personas esperado en el sistema.

b. El número esperado en la cola.

c. El tiempo previsto en la cola.

d. El tiempo previsto en el sistema.

e. La probabilidad de que el sistema esté vacío.

10. En un periodo de 8 horas llegaron 96 vehículos a una estación de servicio a recargar combustible. Suponiendo que el tiempo entre llegadas tiene una distribución exponencial, estime los siguientes elementos:

a. El valor de .

b. El tiempo medio entre llegadas.

c. La razón media de llegada.

11. Use la ecuación de flujo de LITTLE, y el hecho de que L = λ / (µ-λ) en el modelo básico para deducir la fórmula de W.

12. Use la ecuación de flujo de LITTLE, la expresión del tiempo medio de servicio y el hecho de que L = λ / (µ-λ) en el modelo básico para deducir la fórmula de Wq.

13. Un Doctor programa a sus pacientes para que lleguen a razón de tres por hora y los trata según

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