Factorización.

Factorización

Introducción

La factorización constituye una parte muy importante de la operativa algebraica debido a sus múltiples y frecuentes aplicaciones en la simplificación de expresiones y en la resolución de proposiciones; por tal motivo, se requiere de un claro y firme conocimiento de los métodos y procedimientos que utiliza, y de la realización de tantos ejercicios como sean necesarios para lograr su dominio.

En el desarrollo de la unidad, se ha tratado de concretar la operación de factorizar en el menor número de métodos básicos necesarios para lograrla, quedando ahora en ti la responsabilidad de aprenderlos y ejercitarlos para que obtengas el éxito deseado en tus exámenes y cursos futuros.

Objetivos:

Al finalizar el estudio de la unidad, serás capaz de:

1. Determinar cuándo una expresión matemática está factorizada.
2. Factorizar algunos polinomios por métodos de factor común en todos sus términos, y por agrupación de términos con factor común.
3. Factorizar algunos trinomios cuadráticos con coeficientes enteros.
4. Identificar trinomios cuadrados perfectos.
5. Transformar algunos binomios en trinomios cuadrados perfectos.
6. Factorizar binomios que expresen sumas o diferencias de potencias iguales.
7. Obtener con los métodos estudiados en la unidad, la máxima factorización posible de algunos polinomios.
8. Simplificar algunas expresiones fraccionarias mediante la factorización.

1. La factorización. Concepto y generalidades.

La factorización, en general, es un procedimiento inverso al de la multiplicación, ya que mientras en la multiplicación conociendo los factores se obtiene el producto. En la factorización, conociendo el producto, se tratan de obtener sus factores.

Así pues, la factorización es el procedimiento que consiste en representar las expresiones matemáticas como el producto de dos o más factores.

Ejemplo:

Las expresiones: 24; 6a²x³ y 2x³ - 2x² - 12x pueden factorizarse de diferentes maneras, tales como:

24 = (3) (8) = (2) (3) (4) etc.

6a²x³ = (2ax³) (3a) = (3x²) (2a) (ax) etc.

2x³ - 2x² - 12x = (2x) (x² - x – 6) = (2x) (x + 2) (x – 3) etc.

1. Ejercicio

Para comprobar que has entendido, en las expresiones siguientes escribe dentro del paréntesis al factor que hace verdadera a la igualdad.

1. 48 = (16) (               )
2. 48 = (6) (2) (               )
3. 18b³x² = (9b²x²) (               )
4. 18b³x² = (3bx) (               )
5. 18b³x² = (3bx) (3b²) (               )

Como puedes observar, la factorización de una misma expresión matemática puede dar lugar a diferentes soluciones, pero para evitar eso y obtener una respuesta única, es necesario llegar hasta la factorización total o completa, lo cual se logra cuando la expresión se descompone en todos sus factores primos, de tal manera que éstos ya no puedan descomponerse en otros factores. Salvo por unidades asociadas y orden de los factores.

En la factorización de polinomios se aplican diferentes métodos o procedimientos de acuerdo con sus características, pero en este nivel solo nos corresponde estudiar los métodos básicos que se aplican a polinomios con coeficientes enteros, quedando los demás a cargo de cursos superiores; por tal motivo, es probable que con estos métodos básicos no sea siempre posible llegar a la factorización total o completa, aunque es necesario que te impongas como obligación alcanzar  la máxima factorización posible.

La selección del método por aplicar en la factorización de polinomios con coeficientes enteros se hace de acuerdo con las estructuras siguientes:

1. Polinomios con cualquier número de términos.
2. Trinomios cuadráticos de las formas: x² + bx + c; ax² + bx + c en los que a, b y c son números enteros diferentes de cero.
3. Binomios que constituyen una suma o diferencia de potencias iguales, de la forma: aⁿ ± bⁿ, siendo n un número natural y a, b expresiones algebraicas.

1. Factorización de algunos polinomios

Comenzaremos por estudiar los métodos que se aplican en la factorización de polinomios de la primera estructura, en la cual se pueden presentar, entre otros, los casos siguientes:

1. Con factor común

Cuando todos los términos del polinomio contienen un factor común. Tal caso se presenta cuando el polinomio proviene de la multiplicación de un monomio por otro polinomio, aplicando la propiedad distributiva.

Así por ejemplo, al multiplicar el monomio A por el polinomio B + C – D; A (B + C – D) = AB + AC – AD se obtiene al polinomio AB + AC – AD el cual contiene todos sus términos al monomio A como factor común. Pero si ahora invertimos el procedimiento, sacando al factor común A, entonces el polinomio AB + AC – AD quedará factorizado de la manera siguiente: AB + AC – AD =  A (B + C – D)

Ejemplos:

1. Factorizar: xy – xz – 5x

El factor común de todos los términos del polinomio es x por lo tanto:

xy – xz – 5x = x (y – z – 5)

1. Factorizar: ab²x + ab²y² - 5ab²z³ - 7ab²

En este polinomio el factor común de sus términos es ab² por lo tanto:

ab²x + ab²y² - 5ab²z³ - 7ab² = ab² (x + y² - 5z³ - 7)  

1. Factorizar: ab³ - b5 c² - 7b4x

El polinomio también se puede escribir de las maneras siguientes:

        b (ab²) – b (b4 c²) – b (7b³x)

        b² (ab) - b² (b³c²) - b² (7b²x)

        b³ (a) - b³ (b² c²) – 3b³ (7bx)

y entonces el factor común de sus términos puede ser b, b² o b³; por lo tanto, al factorizarlo queda: [pic 1]

                                  b (ab² - b4 c² - 7b³x)

ab³ - b5 c² - 7b4x =     b² (ab - b³c² - 7b²x)

                                   b³ (a - b² c² - 7bx)

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