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MATEMATICAS

1.1 Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todas las fracciones; y todos los números irracionales, aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten.

Números enteros y valor absoluto

El conjunto de los números enteros lo forman los enteros positivos, enteros negativos y el cero. Los signos + y - que llevan los números enteros no son signos de operaciones (suma, resta), sino que indican simplemente la cualidad de ser positivos o negativos.

Se llama valor absoluto de un número entero al número natural que resulta de prescindir del signo. Se expresa encerrando este número entre dos barras.

Operaciones con números enteros

1.1.1 Suma de números enteros

Cuando los números enteros tienen el mismo signo: se suman los valores y se deja el signo que tengan, si son positivos signo positivo y si son negativos signo negativo. Si no se pone nada delante del número se entiende que es +.

Ejemplos números enteros del mismo signo

(+5) + (+4) = +9 es lo mismo que: 5 + 4 = 9

(- 5) + (- 4) = - 9 es lo mismo que: - 5 - 4 = - 9

Cuando los números enteros tienen distinto signo: se restan sus valores absolutos y se pone el signo del sumando de mayor valor absoluto. (Se restan y se deja el signo del más grande en valor absoluto).

Ejemplos números enteros de distinto signo

(+20) + (-10) = 20 -10 = +10 (20 -10) =10, el más grande es +20, se pone +10)

(- 8) + (+3) = - 8 + 3 = - 5 (-8 + 3) =- 5, el más grande es el - 8, se pone -5)

(+11) + (- 2) = 11 - 2 = + 9 (11 – 2) = 9, el más grande es el 11, se pone +9)

Resta de números enteros

Ejemplos números enteros del mismo signo

(+5) - (4) = +1 es lo mismo que: 5 - 4 = +1

(- 5) - (- 4) = -1 es lo mismo que: - 5 + 4 = - 1

Cuando los números enteros tienen distinto signo: Se restan y se deja el signo del más grande en valor absoluto.

Ejemplos números enteros de distinto signo

(+20) - (-10) = 20 +10 = 30 (20 +10) =30, el más grande es +20, se pone +10)

(- 8) - (+3) = - 8 - 3 = - 11 (-8 – 3) = -11, el más grande es el - 8, se pone -3)

(+11) - (- 2) = 11 + 2 = + 13 (11 + 2) = 13, el más grande es el 11, se pone +13)

1.1.2 Producto y Cociente de números enteros: regla de los signos

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y se aplica la regla de los signos. Cuando van dos signos seguidos hay que separarlos utilizando paréntesis.

(+8) * (+3) = + 24

(-3) * (-2) = + 6

(+4) * (-1) = - 4

(-2) * (+4) = - 8

Para dividir dos números enteros se divide el dividendo entre el divisor y se aplica la regla de los signos. Una división es exacta cuando el resto es 0.

(-15)/(-15) = +1

8 / 4 = +2

- 4 / (-2) = +2

10 / 2 = +5

10 / (-2) = - 5

(-8) / 4 = - 2

24 / (-4) = - 6

- 6 / 3 = - 2

1.1.3 Raíces y Potencias

Potencia

Una potencia an de base un número real a y exponente un número natural n (n ˃ 1) es el producto de n factores igual a la base.

(n veces)

an =a×a×××××××××××a con n ˃ 1

Ejemplo.

24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243

(-2)4 = (-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16 (-2)5=(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=-32

Propiedades

• El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente la suma de los exponentes.

an × am = an+m

Calculemos 52 × 54 52 × 54 = (5 × 5) × (5 × 5 × 5 × 5) = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 56

• El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente la diferencia de los exponentes.

an / am = an-m con n > m + 1

Calculemos ahora

• El producto de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el producto de las bases y por exponente el mismo.

an × bn = (a × b)n

Calculemos el producto de dos potencias 32 × 52  32 × 52 = (3×3)×(5×5) = (3 × 5)×(3 × 5) = (3 × 5)2 = 152

• El cociente de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el cociente de las bases y por exponente el mismo.

an / bn = (a : b)n

Calculemos el cociente 62 / 32  62 / 32 = (6 × 6) / (3 × 3) = (6 / 3) × (6 / 3) = (6 / 3)2 = 22

• La potencia de una potencia es otra potencia que tiene por base la misma y por exponente el producto de los exponentes.

(an)m = an×m

Calculemos por último,

Ejercicios

1.- Calcula las siguientes potencias

2.- Escribe en forma de una sola potencia

3.- Escribe en forma de una sola potencia

4.- Completa los huecos

Raíces

Radicales de índice par

Si el radicando es positivo, existen dos raíces opuestas.

Por ejemplo, la raíz cuadrada de 25 puede ser 5 ó -5. Para

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