(P)FN-363 Distribuciones De Probabilidad Discreta

DISTRIBUCIONES DE

PROBABILIDAD DISCRETA1

6 págs.

(P)FN-363

Enero, 2005

Una distribución de probabilidad aporta el rango completo de valores

susceptibles de ocurrir con base en un experimento. Una distribución

de probabilidad es similar a una distribución de frecuencia relativa. Sin

embargo, en vez de describir el pasado, dice qué tan probable es que

ocurra un evento.

En esta nota técnica presentamos la media, varianza y desviación

estándar para las distribuciones de probabilidad, así como las tres

familias de distribución de probabilidad discreta que se presentan con

mayor frecuencia: binomial, hipergeométrica y Poisson.

Una distribución de probabilidad, como dijimos antes, indica todos los

resultados probables de un experimento, así como la probabilidad de

ocurrencia de estos resultados.

¿Cómo posible generar una distribución de probabilidad?

Suponga que existe interés en el número de veces que aparece “sol”

en tras lanzamientos de una moneda. Éste es el experimento. Los

resultados posibles son: cero soles, un sol, dos soles y tres soles. ¿Cuál

es la distribución de probabilidad para el número de soles?

Puede haber ocho resultados posibles.

Distribución de probabilidad: lista todos los resultados de un

experimento y la probabilidad asociada con cada uno de ellos.

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IPADE (P)FN-363

Lanzamiento de moneda

Resultado

posible

Primer

lanzamiento

Segundo

lanzamiento

Tercer

lanzamiento

Número de

“soles”

1 Águila Águila Águila 0

2 Águila Águila Sol 1

3 Águila Sol Águila 1

4 Águila Sol Sol 2

5 Sol Águila Águila 1

6 Sol Águila Sol 2

7 Sol Sol Águila 2

8 Sol Sol Sol 3

Obsérvese que el resultado “cero soles” sólo ocurre una vez, “un sol” ocurre tres veces, “dos soles” ocurre

tres veces también, y el resultado “tres soles” ocurre una única vez. Es decir, “cero soles” ocurre una vez de

cada ocho ocasiones posibles. Así la probabilidad de obtener cero soles es un octavo. La distribución de

probabilidad se muestra en la figura siguiente. Obsérvese también que la suma de todas las probabilidades es

1.000. Esto es siempre cierto.

Anotamos ahora, dos características importantes de una distribución de probabilidad.

1. La probabilidad de un resultado específico está entre cero y uno, inclusive.

2. La suma de las probabilidades de todos los resultados mutuamente excluyentes es 1.000

En cualquier experimento de probabilidades, los resultados ocurren al azar. Por ejemplo, lanzar un solo dado

es un experimento: cualquiera de seis resultados probables puede ocurrir. En algunos experimentos el resultado

es cuantitativo (pesos, kilos, número de hijos), y el resultado de otros es cualitativo (color o preferencia

deportiva).

Una variable aleatoria puede ser discreta o continua.

Por lo general, una variable discreta es el resultado de un conteo. Es decir, se lanza una moneda cinco ocasiones

y se cuentan las veces que aparece sol. Obsérvese que los resultados están separados claramente entre sí. No

puedo obtener 3.4 soles en el lanzamiento de cinco monedas.

Número de “soles” x Probabilidad del resultado P(x)

0 1/8= .125

1 3/8= .375

2 3/8= .375

3 1/8= .125

Total 8/8= 1.000

Variable aleatoria: la cantidad que es resultado de un experimento que, por azar, puede suponer

distintos valores.

Variable aleatoria discreta: una variable que sólo puede tomar valores enteros de algún experimento

de interés, o claramente separados y definidos sus valores numéricos.

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(P)FN-363 IPADE

Los resultados de una variable aleatoria discreta no tienen por qué ser necesariamente un número entero. Lo

que define a una variable discreta es que haya “saltos o huecos” entre los valores; es decir, que haya valores

que la variable no puede tomar.

En cambio una variable aleatoria continua es aquella que puede tomar todos los valores posibles. Esto,

obviamente con sus limitaciones. Por ejemplo, una distancia entre dos puntos puede ser 100 metros, o bien,

100.56 metros, según la calidad del instrumento de medición. Pero conceptualmente una variable es continua

cuando puede tener como resultado cualquier valor dentro de un rango.

La media es un valor típico que se usa para resumir una distribución de probabilidad. Es también el valor

promedio de largo plazo de la variable aleatoria. La media de una distribución de probabilidad se conoce también

como valor esperado, E(x). Es un promedio ponderado en el que los valores posibles de la variable aleatoria

ponderan según las probabilidades correspondientes de ocurrencia.

La media de una distribución de probabilidad discreta se calcula por medio de la siguiente fórmula:

Donde P(x) es la probabilidad de valores posibles de la variable aleatoria x. En otras palabras, se multiplica cada

valor de x por la probabilidad de su ocurrencia, y luego se suman esos productos. Como decíamos antes, es

exactamente una media ponderada.

Para calcular la varianza (y por supuesto la desviación estándar) se usa la siguiente fórmula:

Los pasos del cálculo son:

1. Restar la media a cada valor y elevar al cuadrado.

2. Multiplicar el cuadrado de cada diferencia por su probabilidad.

3. Sumar los productos resultantes para obtener la varianza.

La desviación estándar , se encuentra al extraer la raíz cuadrada positiva de 2.

Pasemos ahora a la primera de las distribuciones de probabilidad discreta que veremos: la distribución de

probabilidad binomial. Una característica de una distribución de este tipo es que sólo existen dos resultados

posibles para un ensayo particular de un experimento. Por ejemplo, la respuesta a una pregunta de verdadero

o falso, sólo puede ser verdadero o falso. Los resultados son mutuamente excluyentes, lo que significa que la

respuesta a una pregunta de verdadero o falso no puede ser tanto verdadero como falso al mismo tiempo.

Siempre que haya un “éxito” y un “fracaso” estamos ante una distribución de este estilo.

Otra característica de la distribución binomial es que la variable aleatoria es el resultado de conteos. Es decir,

se cuenta el número

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