Razones Y Proporciones

DEFINICIÓN DE RAZÓN

Una Razón, es una comparación entre dos cantidades por medio del cociente entre ellas. Si las cantidades son a y b, se puede escribir la razón entre a y b (en ese orden) como a:b ó a/b

Se llama razón al resultado de comparar dos cantidades.

Dos cantidades pueden compararse de dos maneras:

1. Por diferencia, hallando en cuánto excede una a la otra, es decir, restándolas.

2. Por cociente, hallando cuántas veces contiene una a la otra, es decir, dividiéndolas.

DEFINICIÓN DE PROPORCIÓN

Una Proporción es una igualdad entre dos razones. Si las las razones son a:b y c:d que forman una proporción, entonces se escribe esta proporción como a:b = c:d Que se lee " a es a b como c es a d"

A los números a y d se les llama extremos y a los números b y c se les llama medios.

CLASIFICACIÓN O TIPOS

CLASIFICACIÓN DE LAS RAZONES

RAZÓN ARITMÉTICA O POR DIFERENCIA de dos cantidades es la diferencia indicada de dichas cantidades. Las razones aritméticas se pueden escribir de dos modos: separando las dos cantidades con el signo – o con un punto (.). Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6 – 4 ó 6. 4 y se lee seis es a cuatro.

RAZÓN GEOMÉTRICA O POR COCIENTE de dos cantidades es el cociente indicado de dichas cantidades. Las razones geométricas se pueden escribir de dos modos: en forma de quebrados, separados numerador y denominador por una raya horizontal o separadas las cantidades por el signo de división ( ).

Así, la razón geométrica de 8 a 4 se escribe u 8 4, y se lee, ocho es a cuatro.

Los términos de la razón geométrica se llaman antecedente el primero y consecuente el segundo. Así, en la razón 8 4, el antecedente es 8 y el consecuente 4.

CLASIFICACIÓN DE LAS PROPORCIONES

Hay dos clases de proporciones:

1. Proporción aritmética.

2. Proporción geométrica.

PROPORCIONES ARITMÉTICAS. Una proporción aritmética es la igualdad de dos razones aritméticas o de dos diferencias. Las proporciones aritméticas se pueden representar de dos maneras:

a – b = c – d

a . b :: c . d

Ejemplo:

Representar 20 es a 5 , como 21 es a 16.

Se puede representar así: 20 - 5 = 21 - 16 o bien así: 20 . 5 :: 21 . 16

Los términos primero y cuarto de una proporción aritmética reciben el nombre de Extremos, mientras que los términos segundo y tercero se denominan Medios. En el ejemplo anterior, 20 y 6 son los extremos mientras que 5 y 21 son los medios.

Los términos primero y tercero de una proporción aritmética reciben el nombre de antecedentes, mientras que los términos segundo y cuarto se denominan consecuentes. En el ejemplo anterior entonces 20 y 21 son los antecedentes, mientras que 5 y 16 son los consecuentes.

PROPORCIÓN GEOMÉTRICA o EQUICOCIENTE es la igualdad de dos razones geométricas o por cociente.

Una proporción geométrica se escribe de los dos modos siguientes:

= o a : b :: c : d

y se lee: a es a b como c es a d.

TÉRMINOS DE UNA PROPORCIÓN GEOMÉTRICA

Los términos de una proporción geométrica se llaman: extremos el primero y el cuarto, y medios el segundo y tercero.

También, según lo visto antes, se llaman antecedentes el primero y el tercer términos, y consecuentes el segundo y cuarto términos.

Así, en la proporción = los extremos son 8 y 5, y los medios 10 y 4; los antecedentes son 8 y 10, y los consecuentes 4 y 5.

CLASES DE PROPORCIONES GEOMÉTRICAS

Hay dos clases de proporciones geométricas: Proporción discreta, que es aquella cuyos medios no son iguales; por ejemplo, 8 : 4 :: 10 : 5, y proporción continua, que es la que tiene los medios iguales; por ejemplo, 20 : 10 :: 10 : 5.

PROPIEDADES DE LAS RAZONES ARITMÉTICAS O POR DIFERENCIAS

Como la razón aritmética o por diferencia de dos cantidades no es más que la diferencia indicada de dichas cantidades, las propiedades de las razones aritméticas serán las propiedades de toda resta o diferencia:

1. Si al antecedente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda aumentada o disminuida en ese número.

2. Si al consecuente de una razón aritmética se suma o resta un número, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en el mismo número.

3. Si al antecedente y consecuente de una razón aritmética se suma o resta un mismo número, la razón no varía.

PROPIEDADES DE LAS RAZONES GEOMÉTRICAS O POR COCIENTE

Como la razón geométrica o por cociente de dos cantidades no es más que una división indicada o un quebrado, las propiedades de las razones geométricas serán las propiedades de los quebrados:

1. Si el antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.

2. Si el consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un número, la razón queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo número.

3. Si el antecedente y el consecuente de una razón geométrica se multiplican o dividen por un mismo número, la razón no varía.

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES

Propiedad 1 : en toda proporción , la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su consecuente , como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su consecuente .

a = c → a + b = c + d

b d b d

a = c → a - b = c – d

b d b d

Propiedad 2 : en toda proporción , la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a su antecedente , como la suma o diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su antecedente .

a = c → a + b = c + d

b d a c

a = c → a - b = c – d

b d a c

Propiedad 3 : en toda proporción, la suma entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es a la diferencia entre los mismos , como la suma entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón es a la diferencia de los mismos .

a = c → a + b = c + d

b d a - b c – d

Serie de razones iguales : una serie de razones

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