Rectas Y Circunferencia

Posición relativa de dos rectas en el plano

Cuando estudiamos la posición relativa de dos rectas en el plano lo que queremos saber es como se encuentra una recta en relación con la otra. Hay tres posibilidades, pueden ser paralelas, coincidentes o incidentes en un punto. Si tenemos las ecuaciones generales de la recta es fácil determinar como están relacionados.

Sabido es que un vector normal de la recta está formado por los coeficientes de x e y . Las rectas serán paralelas si sus vectores normales son proporcionales (se obtiene el mismo resultado si en lugar de considerar los vectores normales se consideran los de dirección), las rectas serán coincidentes si además también son proporcionales los términos independientes, en caso contrario son incidentes en un punto. Este punto se calcula fácilmente resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que se plantea.

Dos rectas en el plano

Secantes

Dos rectas son secantes si sólo tienen un punto en común.

El sistema de ecuaciones formado por las dos rectas tiene una solución.

Paralelas

Dos rectas son paralelas si no tienen ningún punto en común.

El sistema de ecuaciones formado por las dos rectas no tiene solución.

Coincidentes

Dos rectas son coincidentes si tienen todos los puntos son comunes.

El sistema de ecuaciones formado por las dos rectas tiene infinitas soluciones.

Ecuación explícita

r ≡ y = mx +n

s ≡ y = m'x +n' Ecuación general

r ≡ Ax +By +C =0

r ≡ Ax +By +C =0

r y s secantes m ≠ m'

r y s paralelas m = m'n ≠ n'

r y s coincidentes m = m'n = n'

Ejemplo

Dos rectas en el espacio

Rectas definidas por un punto y un vector

Si la recta r viene determinada por y y la recta s por y , la posición relativa de r y s viene dada por la posición de .

Si hay dos posibilidades:

1. Rectas coincidentes si .

2. Rectas paralelas si .

Si hay otras dos posibilidades:

3. Rectas secantes si .

4. Rectas que se cruzan si .

Rectas definidas por sus ecuaciones implicitas

Si:

r = rango de la matriz de los coeficientes.

r'= rango de la matriz ampliada.

Las posicones relativas de dos rectas vienen dada por la siguiente tabla:

Posición r r'

Cruzadas 3 4

Secantes 3 3

Paralelos 2 3

Coincidentes 2 2

Ejemplos

Hallar la posición relativa de las rectas r y s.

1.

En primer lugar se pasan las ecuaciones continuas a ecuaciones implícitas.

Hallamos el rango de la matriz de los coeficientes.

Determinamos el rango de la matriz ampliada.

Comparamos los rangos

Las dos rectas se cruzan.

2.

Circunferencia

La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniométrica.1 2 3 4 5

Elementos de la circunferencia

Secantes, cuerdas y tangentes.

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

• Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;

• Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia;

• Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro);

• Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de

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