Recta Y Circunferencia

CAPITULO II

LA RECTA

Definición: Una línea queda perfectamente definida, cuando es conocida su dirección y un punto por el cuál debe pasar. Y se denota por la letra “L”.

2.1 ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA

Sea punto por donde pasa la recta y es paralela al vector llamado “vector direccional” de L y “t” un escalar que pertenece a los números reales; entonces la ecuación vectorial de la recta está dado por:

P(X,Y) punto cualquiera que pertenece a la recta L.

Teorema: Un punto P=(X,Y) pertenece a la recta L el vector P-PO es paralelo al vector , por lo tanto:

2.2 ECUACIONES PARAMETRICAS DE LA RECTA

Sea P=(X,Y) punto que pertenece a la recta punto de paso y su vector direccional, entonces la ecuación vectorial es:

de donde igualando componentes, se obtiene las ecuaciones paramétricas de la recta L:

2.3 FORMA SIMETRICA DE LA ECUACION DE LA RECTA

Se obtiene despejando el parámetro “t” de las ecuaciones paramétricas

2.4 ECUACION NORMAL DE LA RECTA

Sea la recta y un vector ortogonal al vector llamado vector normal de L. Un punto P pertenecerá a L si y solo si el vector P-PO es ortogonal a .

Ecuación normal de la recta

2.5 ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

En la ecuación normal si consideramos

entonces se convierte:

Ecuación general de la recta

Ejemplo: Hallar las ecuaciones vectoriales, paramétricas y ecuación general de la recta que pasa por el punto (3,4) y es paralelo al vector = (6,5)

ecuación vectorial:

Ecuaciones paramétricas:

Ecuación general:

Si = (6,5) entonces el vector normal será y ; por lo tanto la ecuación general de la recta L, será:

-5X+6Y-9 = 0 ó 5X-6Y+9 = O

2.6 DISTANCIA DE UN PUNTO Q A UNA RECTA L

Si es la ecuación normal de la recta L, donde es un punto de R2, entonces tiene:

También; reemplazando valores de se tiene

2.7 PROYECCION ORTOGONAL DE UN VECTOR SOBRE LA RECTA “L”

Sea la recta y el vector que pertenece a R2 entonces

Vector proyección ortogonal de sobre L

2.8 ÁNGULO DE 1NCLINACION DE UNA RECTA

Dada la recta donde es el vector direccional de L, puede presentarse dos casos:

a) Si tiene ángulo de inclinación , se dice que es ángulo de inclinación de L.

b) Si tiene ángulo de inclinación se dice que , es el ángulo de inclinación de L.

De lo cual, el ángulo de inclinación de una recta L solo varia entre 0 a π radianes.

Teorema: Sea L recta , entonces el mismo ángulo de inclinación que la recta L si y solamente si

2.9 PENDIENTE DE UNA RECTA

La pendiente (m) es la representación numérica de la inclinación de una recta L, si es el ángulo de inclinación de entonces:

Si se conocen dos puntos diferentes P=(X,Y) y P de una recta no vertical L(X≠X0), entonces la pendiente de la recta L será:

Si la ecuación de la recta es

2.10 ECUACION DE LA RECTA CONOCIENDO PUNTO-PENDIENTE

Sea punto de paso; P=(X,Y) punto que pertenece a la recta “L” y “m” su pendiente, entonces

Ecuación de la recta forma

punto-pendiente

2.11 PARALELISMO Y ORTOGONALIDAD DE RECTAS

Teorema: Sean L1 y L2 dos rectas cuyas pendientes son m1 y m2 respectivamente entonces:

2.12 INTERSECCION DE RECTAS

Las rectas tienen un único punto de intersección, si y solamente si no son paralelos .

Si son los vectores direccionales de las rectas L1 y L2 respectivamente. P=(X,Y) punto de intersección se puede expresar como:

igualando componentes:

De donde:

Nota: Conociendo las ecuaciones generales de las rectas L1=A1X+B1Y+C1=0 y L2=A2X+B2Y+C2. Entonces y L1 L2 es la solución de las dos ecuaciones con dos incógnitas.

2.13 ANGULO ENTRE DOS RECTAS

Sean L1 y L2 no verticales, con ángulos de inclinación respectivamente, entonces los ángulos formados por L1 y L2 son ;

Si m1 y m2 son las pendientes de L1 y L2, entonces:

De la figura:

El ángulo entre L1 y L2 se debe considerar en sentido antihorario donde m2 corresponde a la recta L2 donde termina el barrido del ángulo 0, y, m1 corresponde a la recta L1 donde comienza el barrido del ángulo .

Se puede presentar los siguientes casos:

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Sean rectas no verticales. Si k1 es el valor de k para el cual L1//L2. Calcular k2-k1.

Solución:

Si:

Si:

Por lo tanto:

2. Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta 8x+15y-l0=0 y que se encuentra a una distancia igual a 5 unidades de P=(2,3)

Solución:

Sean L1 y L2 rectas paralelas a vector normal a las tres rectas.

Distancia del punto P a las rectas L1 y L2

Resolviendo la ecuación:

Luego las ecuaciones de las rectas son:

3. Desde el punto (2,3) se traza una perpendicular a la recta 3x-4y+6=0. ¿A que distancia se halla dicha perpendicular del punto (6,8)?

El vector normal de la recta L, es el vector direccional de la recta L1; cuya ecuación vectorial es:

Por lo tanto:

4. Si y A, B son puntos que pertenecen a las rectas L1 y L2 respectivamente. Hallar d(A,B)

Distancia entre las rectas L1 y L2

Por tanto:

5. Hallar el área del paralelogramo de la figura si:

Solución:

Ecuación general de la recta L2:

La altura del paralelogramo es igual a la distancia del punto (6,8) a la recta L2.

La base b:

Por tanto el área del paralelogramo es:

6. Los puntos P1=(X1,Y1) y P2=(X2,Y2) de la recta 5x-12y+15=0 distan 3 unidades de L.(3,4).[(X,Y)-(0,3)]=0, Hallar X1+X2

Solución:

Ecuación general de L:

3x+4y-12=0

Calculo de X1 y X2

Resolviendo:

Se obtiene otras relaciones:

de (1) y (2)

...