Trigonometria

La trigonometría fue inventada por la necesidad de medir ángulos y lados de triángulos. Los griegos eran los más interesados en estas mediciones, de ellos es de donde encontramos el significado de la palabra trigonometría , de la unión de dos palabras griegas, trigonon(triángulo) y metría (medición).

Contenido

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• 1 Funciones Trigonométricas y sus Inversas

• 2 Definición: funciones seno y coseno

• 3 Propiedades del seno y del coseno

o 3.1 Funciones Trigonométricas Inversas.

o 3.2 Gráficas de las funciones trigonométricas

• 4 Dominios De Las Funciones Trigonometricas

• 5 Ejemplo1

• 6 Ejemplo 2

• 7 Identidades Trigonométricas

• 8 Propiedades Pares e Impares

o 8.1 Busca mas temas

Funciones Trigonométricas y sus Inversas

Definición: funciones seno y coseno

-Sea t cualquier número real y que determina el punto P(x,y). Entonces: sint = y y cost = x.

Propiedades del seno y del coseno

-Dado que t puede ser cualquier número real. el dominio de las funciones seno y coseno es

-Los puntos P1 y P2 que corresponden a t y -t ,son simétricos con respecto al eje x. En consecuencia: sen( − t) = − sent y cos( − t) = cost.

-Una identidad importante que relaciona las funciones seno y coseno es: sen2t + cos2t = 1.

________________________________________

1) El seno del ángulo es la relación entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

2) El coseno del ángulo es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

3) La tangente del ángulo es la relación entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.

4) La cosecante del ángulo es la relación entre la hipotenusa y el cateto opuesto.

5) La secante del ángulo es la relación entre la hipotenusa y el cateto adyacente.

6) La cotangente del ángulo es la relación entre el cateto adyacente y el opuesto.

Funciones Trigonométricas Inversas.

Las tres funciones trigonométricas inversas usadas de manera común son:

1) Arcoseno: es la función inversa del seno del ángulo.

2) Arcocoseno: es la función inversa del coseno del ángulo.

3) Arcotangente: es la funcion inversa de la tangente del ángulo.

Gráficas de las funciones trigonométricas

Seno

Coseno

Secante

Cosecante

Tangente

Cotangente

Seno inverso

Coseno inverso

Tangente inversa

Cotangente inversa

Dominios De Las Funciones Trigonometricas

Función Dominio sen, cos Todos los numeros reales.

cot, csc Todos los numeros reales diferentes a n para cualquier entero.

Ejemplo1

Dado que y , encuentre los valores de las demás funciones trigonométricas.

= =

= =

= =

= =

Ejemplo 2

Tenemos que y , encontrar el valor de secante, cosecante, cotangente, tangente:

= =

= =

= =

= =

Identidades Trigonométricas

Son igualdades que involucran funciones trigonométricas aplicables para cualquier ángulo, de las cuales se pueden sacar otras identidades.

Estas identidades son:

sin2θ + cos2θ = 1

1 + cot2θ = csc2

tan2θ + 1 = sec2

sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

cos(2θ) = cos2(θ) − sin2(θ)

cot(θ / 2) = csc(θ) + cot(θ)

Propiedades Pares e Impares

El seno, la cosecante, la tangente y la cotangente son funciones impares, el coseno y la secante son funciones pares.

sen(-t)= -sen t

cos(-t)= cos t

tan(-t)= -tan t

csc(-t)= -csc t

sec(-t)= sec t

cot(-t)= -cot t

Identidades trigonométricas

Artículo principal: Identidades trigonométricas.

Una identidad es una igualdad en que se cumple para todos los valores permisibles de la variable. En trigonometría existen seis identidades fundamentales:

[editar]Recíprocas

[editar]De división

[editar]Por el teorema de Pitágoras

Como en el triángulo rectángulo cumple la función que:

de la figura anterior se tiene que:

por tanto:

entonces para todo ángulo α, se cumple la identidad Pitagórica:

que también puede expresarse:

[editar]Seno y coseno, funciones complejas

El seno y coseno se definen en matemática compleja, gracias a la fórmula de Euler como:

Por lo tanto, la tangente quedará definida como:

Siendo .

Radián

El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia y abarca un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad.

Definición

El ángulo formado por dos radios de una circunferencia, medido en radianes, es igual a la longitud del arco que delimitan los radios; es decir, θ = s/r, donde θ es ángulo, s es la longitud del arco, y r es el radio. Por tanto, el ángulo completo, , que subtiende una circunferencia de radio r, medido en radianes, es:

[editar]Utilidad

El radián es una unidad sumamente útil para medir ángulos, puesto que simplifica los cálculos, ya que los más comunes se expresan mediante sencillos múltiplos o divisores de π.

[editar]Análisis dimensional

El radián es la unidad natural en la medida de los ángulos. Por ejemplo, la función seno de un ángulo "x" expresado en radianes cumple:

Análogamente los desarrollos Taylor de las funciones seno y coseno son:

•

•

donde x se expresa en radianes.

[editar]Equivalencias

• La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180°

• La equivalencia entre grados centesimales y radianes es: π rad = 200g

La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.

Grados 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

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