UNAS DEMOSTRACIONES DE TEMAS TEORICOS DEL PROGRAMA DE ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA

UNAS DEMOSTRACIONES DE TEMAS TEORICOS DEL PROGRAMA DE ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA

En esta página incluimos las demostraciones de algunos temas teóricos que en ciertas ocasiones, por razones de disponibilidad de tiempo, no pueden dictarse en los cursos, pero que están incluidos en el programa analítico de la materia y que por lo tanto es necesario conocer y saber demostrar.

Quiere señalarse que estas demostraciones están desarrolladas en la mayoría de los textos de Álgebra Lineal que se proponen en la Bibliografía del curso.

En la tipografía empleada, indicaremos los vectores con negrita.

Unidad VIII: Transformaciones lineales

1.- La transformación matricial es una transformación lineal

Sea T: V → W una transformación lineal.

Se verifica que T(x) = Ax (1)

donde A se denomina matriz asociada o matriz estándar de la transformación lineal.

La expresión (1) se denomina transformación matricial y es de extensa utilización en el Álgebra Lineal.

La aplicación precedente puede interpretarse en el sentido que si tengo un vector x perteneciente al dominio (el espacio vectorial V) y le aplico el operador A (es decir, la matriz asociada a la transformación T), obtengo la imagen de x, del mismo modo que la obtendría si a x le aplicara la expresión analítica de la transformación lineal.

Demostraremos que (1) representa una transformación lineal.

Aplicando la expresión (1) sobre un vector x ε V, resulta, tal cual está indicado,

T(x) = Ax (2)

Aplicando la expresión (1) sobre un vector y ε V, resulta:

T(y) = Ay (3)

Sumando miembro a miembro (2) y (3):

T(x) + T(y) = Ax + Ay = A (x + y) (4)

Por la ecuación (1), tal cual se expresara más arriba, cuando sobre un vector del dominio aplico el operador A, obtengo la imagen de dicho vector. En el caso de las ecuaciones indicadas con el numeral (4), el vector sobre el que aplico A es (x + y), por la que la imagen que voy a obtener será T (x + y)

En consecuencia, resulta:

T(x) + T(y) = Ax + Ay = A (x + y) = T (x + y)

con lo cual queda probado que la suma de los transformados es igual al transformado de la suma, primera de las dos condiciones que definen cuando una transformación es lineal.

Para demostrar la segunda, si a la ecuación indicada con el numeral (2) la multiplicamos miembro a miembro por el escalar α, resulta:

αT(x) = αAx (5)

Asociando en el segundo miembro (recordemos que todo vector de Rn puede considerarse como una matriz perteneciente a las matrices Rnx1) y agrupando resulta:

αT(x) = Aαx = A(αx) (6)

y considerando en la expresión (6) el concepto de operador de A enunciado precedentemente, la imagen del vector αx cuando le aplico A será T(αx), por lo que en definitiva:

αT(x) = Aαx = A(αx) = T(αx)

lo que demuestra la segunda condición para que T sea lineal.

2.- El Núcleo de una transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio

Sea T: V → W una transformación lineal.

Vamos a demostrar que el Núcleo de la transformación lineal [Nu (T)] es un subespacio vectorial del dominio V.

Recordemos que Nu (T) está formado por todos los elementos de V cuya imagen es el vector nulo (0) del codominio W.

Para probar que Nu (T) es un subespacio vectorial, debemos demostrar:

a.- Que Nu (T) no es un conjunto vacío.

b.- Que es cerrado para la suma.

c.- Que es cerrado para el producto por un escalar.

a.- Nu (T) no es vacío ya que una de las propiedades de las transformaciones lineales (se sugiere consultar los apuntes de clase o la bibliografía propuesta) es que si una aplicación T es lineal, entonces el vector nulo del dominio tiene como imagen el vector nulo del codominio.

Es decir T(0V) = 0W

En consecuencia, siempre Nu (T) tiene al menos un elemento, que es el vector nulo del dominio.

b.- Consideremos que u ε Nu (T) y que v ε Nu (T)

Debe probarse que u + v ε Nu (T)

Si u ε Nu (T), entonces T(u) = 0 (1)

Si v ε Nu (T), entonces T(v) = 0 (2)

Sumando las expresiones indicadas con los numerales (1) y (2) resulta :

T(u) + T(v) = 0 (3)

Como T es lineal, T(u) + T(v) = T (u + v) (4)

Reemplazando (4) en (3) resulta :

T(u + v) = 0 u + v ε Nu (T)

con lo que se prueba que es cerrado para la suma

c.- Consideremos que u ε Nu (T) y que α es un número real.

Debe probarse que αu ε Nu (T)

Si u ε Nu (T), entonces T(u) = 0 (5)

En consecuencia, αT(u) = α0 = 0 (6)

Pero como T es lineal αT(u) = T(αu) (7)

Reemplazando (7) en (6) queda:

T(αu) = 0 αu ε Nu (T)

con lo que se prueba que es cerrado para el producto por un escalar y en consecuencia, es un subespacio vectorial de V

3.- La Imagen de una transformación lineal es un subespacio vectorial del codominio

Sea T: V → W una transformación lineal.

Vamos a demostrar que la Imagen de la transformación lineal [Im (T)] es un subespacio vectorial del codominio W.

Recordemos que la Im (T) es el conjunto formado por todos los elementos del codominio que tienen su correspondiente preimagen.

Para probar que Im (T) es un subespacio vectorial, debemos demostrar:

a.- Que Im (T) no es un conjunto vacío.

b.- Que es cerrado para la suma.

c.- Que es cerrado para el producto por un escalar.

a.- Im (T) no es vacío ya que una de las propiedades de las transformaciones lineales, tal cual señaláramos cuando tratamos este tema con Nu (T), es que si una aplicación T es lineal, entonces el vector nulo del dominio tiene como imagen el vector nulo del codominio.

Es decir T(0V) = 0W

En consecuencia, siempre Im (T) tiene al menos un elemento, que es el vector nulo del codominio, cuya preimagen es el vector nulo del dominio V.

b.- Consideremos que u ε Im (T) y que v ε Im (T)

Debe probarse que u + v ε Im (T)

Si u ε Im (T), entonces existe al menos un vector x de V tal que T(x) = u (1)

Si v ε Im (T), entonces existe al menos un vector y de V tal que T(y) = v (2)

Si sumamos miembro a miembro las expresiones (1) y (2), resulta:

T(x) + T(y) = u + v (3)

Como T es lineal, T(x) + T(y) = T(x + y), por lo tanto, reemplazando esta expresión en (3), resulta:

T(x + y) = u + v

lo que significa que u + v tiene como preimagen en V a los vectores x + y, por lo tanto, u + v ε Im (t)

...