UNIDAD 3.- Variables Aleatorias, Pruebas De Ajuste De Bondad Y Tamaño De Muestra

UNIDAD 3.- Variables aleatorias, pruebas de Ajuste de Bondad y Tamaño de Muestra

Objetivo Educacional

Generará Variables Aleatorias Discretas, Continuas y Empíricas, realizará pruebas de Ajuste de Bondad.

Introducción

En todo modelo de simulación estocástico, existen una o varias variables aleatorias interactuando. Generalmente, estas variables siguen distribuciones de probabilidad diferentes a la distribución uniforme. Por ello es importante decidir si un conjunto de datos se ajusta apropiadamente a una distribución específica de probabilidad.

Distribuciones de probabilidad más utilizadas

Discretas:

Uniforme: En fenómenos donde hay n resultados posibles, cada uno de ellos con probabilidad 1/n de ocurrir.

Binomial: Cuando se desea analizar eventos donde existen 2 posibles resultados éxito (con probabilidad p y No éxito con probabilidad q)

Poisson: Cuando interesa el número de eventos ocurridos en un intervalo (de tiempo, u otra índole) si ocurren a tasa constante.

Continuas:

Uniforme: Similar al caso discreto pero con posibles valores de la variable infinitos.

Exponencial: describe procesos en los que interesa saber el tiempo hasta que ocurre un evento.

Normal: Una de las distribuciones de probabilidad de variable continúa que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.

Pero, ¿cómo se puede determinar qué tipo de distribución tiene una variable aleatoria? ¿Cómo usarla en el modelo? Para ello existen ciertas pruebas estadísticas (pruebas de bondad de ajuste).

Prueba Chi-cuadrada

El procedimiento general de la prueba es:

1. Obtener al menos 30 datos de la variable aleatoria a analizar.

2. Calcular la media y varianza de los datos.

3. Crear un histograma de n = 1+ 3.33 log N intervalos y obtener la frecuencia observada en cada intervalo.

4. Establecer explícitamente la hipótesis nula, proponiendo una distribución de probabilidad que se ajuste a la forma del histograma.

5. Calcular la frecuencia esperada, partir de la función de probabilidad propuesta.

6. Calcular el estadístico de prueba:

7. Definir el nivel de significancia, y determinar el valor crítico de la prueba.

8. Comparar el estadístico de prueba con el valor crítico. Si el estadístico de prueba es menor que el valor crítico no se puede rechazar la hipótesis nula.

Ejemplo

Éstos son los datos del número de automóviles que entran a una gasolinera cada hora:

Determinar la distribución de probabilidad con un nivel de significancia de 5 por ciento.

Elaborar histograma de los N = 50 datos, considerando los intervalos calculados.

Ho: ( = ) automóviles/hora

H1: Otra distribución

Prueba de Kolmogorov-Smirnov

Una limitante de la prueba de Kolmogorov-Smirnov es que sólo se puede aplicar para analizar variables continuas. El procedimiento general de la prueba es:

1. Obtener al menos 30 datos de la variable aleatoria a analizar.

2. Calcular la media y la varianza de los datos.

3. Crear un histograma de n = 1+ 3.33 log N intervalos y obtener la frecuencia observada en cada intervalo.

4. Calcular la probabilidad observada en cada intervalo PO¡ = FO¡/N, esto es, dividir la frecuencia observada entre el número total de datos, N.

5. Acumular las probabilidades PO¡ para obtener la probabilidad observada hasta el i-ésimo intervalo, POA¡.

6. Establecer explícitamente la hipótesis nula, proponiendo una distribución de probabilidad que se ajuste a la forma del histograma.

7. Calcular la probabilidad esperada acumulada para cada intervalo, РЕA, a partir de la función de probabilidad propuesta.

8. Calcular el estadístico de prueba:

9. Definir el nivel de significancia de la prueba, y determinar el valor crítico de la prueba.

10. Comparar el estadístico de prueba con el valor crítico. Si el estadístico de prueba es menor que el valor crítico no se puede rechazar la hipótesis nula.

Ejemplo

Determine, con un nivel de confianza de 90%, si la variable aleatoria representada por la siguiente tabla de frecuencia sigue una distribución exponencial con media 1.

Ejercicios

Para los siguientes datos realizar prueba ji cuadrada y kolmogorov-smirnov, asumiendo que los datos siguen distribución normal

28.30, 31.46, 29.22, 25.47, 24.09, 26.47, 24.33, 26.56, 31.71, 31.51, 26.91, 24.58, 26.94, 25.93, 26.40, 23.81, 26.55, 24.04, 30.56, 30.08

Determine, con un nivel de confianza de 90%, si los datos se distribuyen de acuerdo con una distribución binomial con N = 10 y p = 0.5.

Ajuste de datos con Stat: :Fit

Stat: :Fit de ProModel analiza y determina el tipo de distribución de probabilidad de un conjunto de datos. Permite comparar el ajuste de varias distribuciones analizadas mediante una calificación. Emplea las pruebas Chi-cuadrada, de Kolmogorov-Smirnov y de Anderson-Darling. También calcula los parámetros apropiados para cada tipo de distribución, e información adicional como media, moda, valor mínimo, valor máximo y varianza, entre otros.

Ejemplo

Los datos del número de automóviles que entran a una gasolinera por hora son:

Determinar la distribución de probabilidad usando Stat: :Fit

Para ello se debe Ejecutar Stat: :Fit, una vez abierto el programa abrir un nuevo documento, e introducir los datos de la variable a analizar mediante el teclado o mediante los comandos Copiar y Pegar para llevar datos desde otra aplicación, como Excel o el Bloc de notas de Windows.

Una vez introducidos los datos es posible seleccionar una serie de opciones de análisis estadístico, entre ellas las de estadística descriptiva y las de pruebas de bondad de ajuste, etc.

Entrar el menú Statistics y seleccione el comando Descriptive esto muestra un resumen estadístico de la variable.

Para determinar el tipo de distribución de probabilidad de los datos, seleccionar el comando AutoFit del menú Fit en la pantalla principal de Stat: :Fit. Luego de alegir opciones de variable y limites, se obtiene como resultado una ventana donde se describen las distribuciones de probabilidad analizadas, su posición de acuerdo con el ajuste, y si los datos siguen o no alguna de las distribuciones.

Si se selecciona cualquiera de las distribuciones se desplegará un histograma que representan la frecuencia observada de los datos y la frecuencia esperada de la distribución teórica.

Éstos son los datos de un estudio del tiempo de atención a los clientes en una florería, medido en minutos/cliente:

Determinar la distribución de probabilidad

Ejercicios

Para los siguientes grupos de datos determinar distribución de probabilidad

Métodos para Generar Variables aleatorias

La variabilidad de eventos y actividades se representa a través de funciones de densidad para fenómenos continuos, y mediante distribuciones de probabilidad para fenómenos de tipo discreto. La simulación de estos eventos o actividades se realiza con la ayuda de la generación de variables aleatorias.

Los principales métodos para generar las variables aleatorias son:

• Método de la transformada inversa.

• Método de convolución.

• Método de aceptación y rechazo.

Transformada inversa

Simula variables aleatorias

...