PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE

PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE

Estas pruebas permiten verificar que la población de la cual provieneuna muestra tiene una

distribución especificada o supuesta.

Sea X: variable aleatoria poblacional

f

0

(x) la distribución (o densidad) de probabilidad especificada o supuesta para X

Se desea probar la hipótesis:

Ho: f(x) = f0

(x)

En contraste con la hipótesis alterna:

Ha: f(x) no= f0

(x) (negación de Ho)

PRUEBA JI-CUADRADO

Esta prueba es aplicable para variables aleatorias discretas o continuas.

Sea una muestra aleatoria de tamaño ntomada de una población con una distribución especificada

f

0

(x) que es de interés verificar.

Suponer que las observaciones de la muestra están agrupadas en kclases, siendo o

i

la cantidad de

observaciones en cada clase i = 1, 2, ..., k

Con el modelo especificado f

0

(x)se puede calcular la probabilidad pi

que un dato cualquiera

pertenezca a una clase i.

Con este valor de probabilidad se puede encontrar la frecuencia esperada e

i

para la clase i, es

decir, la cantidad de datos que según el modelo especificado deberían estar incluidos en la clase i:

e

i= pi

n, i = 1, 2, ..., k

Tenemos entonces dos valores de frecuencia para cada clase i

o

i

: frecuencia observada (corresponde a los datos de la muestra)

e

i

: frecuencia esperada (corresponde al modelo propuesto)

La teoría estadística demuestra que la siguiente variable esapropiada para realizar una prueba de

bondad de ajuste:

Definición

Estadístico para la prueba de bondad de ajuste Ji-cuadrado

χ χχ χ

2

= ∑

=

−

k

1 i

i

2

i i

e

e o ) (

,distribución Ji-cuadradocon ν νν ν=k–r–1grados de libertad

donde r es la cantidad de parámetros de la distribución que deben estimarse a partir de la muestra

Es una condición necesaria para aplicar esta prueba que ∀ ∀∀ ∀i, ei ≥ ≥≥ ≥5 .

Dado un nivel de significancia α αα αse define un valor crítico

2

α αα α

χ χχ χ para el rechazo de la hipótesis

propuesta Ho: f(x) = f0

(x).

Si las frecuencias observadas no difieren significativamente de las frecuencias esperadas calculadas

con el modelo propuesto, entonces el valor de estadístico de prueba χ χχ χ

2

será cercano a cero, pero si

estas diferencias son significativas, entonces el valor del estadístico χ χχ χ

2

estará en la región de rechazo

de Ho

2 2

0

H rechazo

α

χ χ > ⇔ :

Región de rechazo de Ho

Ejemplo

Se ha tomado una muestra aleatoria de 40 baterías yse ha registrado su duración en años. Estos

resultados se los ha agrupado en 7 clases en el siguiente cuadro

i clase (duración) frecuencia observada (oi

)

1 1.45 – 1.95 2

2 1.95 – 2.45 1

3 2.45 – 2.95 4

4 2.95 – 3.45 15

5 3.45 – 3.95 10

6 3.95 – 4.45 5

7 4.45 – 4.95 3

Verificar con 5% de significancia que la duración en años de las baterías producidas por este

fabricante tiene duración distribuida normalmente con media 3.5 y desviación estándar 0.7

Solución

Sea X: duración en años (variable aleatoria contínua)

1) Ho: ) . , . ( ~ 7 0 5 3 N X (distribución normal, µ=3.5, σ=0.7)

2) Ha: no H0

3) α αα α= 0.05

Cálculo de la probabilidad correspondiente a cada intervalo

p

1= P(X≤1.95) = P(Z≤(1.95 – 3.5)/0.7) = 0.0136

p

2

= P(1.95≤X≤2.45) = P((1.95 – 3.5)/0.7 ≤Z≤(2.45 – 3.5)/0.7) = 0.0532

p

3

= P(2.45≤X≤2.95) = P((2.45 – 3.5)/0.7 ≤Z≤(2.95 – 3.5)/0.7) = 0.135

... (etc)

Cálculo de las frecuencias esperadas

e

1

= p1

n = 0.0136 (40) ≈0.5

e

2

= p2

n = 0.0532 (40) ≈2.1

e

3

= p3

n = 0.135 (40) ≈5.4

... (etc)

Resumen de resultados

duración (años) frecuencia observada (oi

) frecuencia esperada (ei

)

1.45 – 1.95 2 0.5

1.95 – 2.45 1 2.1

2.45 – 2.95 4 5.4

2.95 – 3.45 15 10.3 Ojo con el redondeo,

3.45 – 3.95 10 10.7 la suma debe ser n =40

3.95 – 4.45 5 7

4.45 – 4.95 3 3.5

Es necesario que se cumpla la condición ∀ ∀∀

...