Pruebas De Bondad Y Ajuste

Introducción

Una prueba de bondad de ajuste es fácil comprender, debido a la gran experiencia que se tiene con el contraste de hipótesis estadísticas.

Puesto que cualquier variable aleatoria no uniforme (normal, exponencial, Poisson, etc) es obtenida a partir de números uniformes, el principal énfasis en pruebas estadísticas deberá ser con respecto al generador de números pseudoaleatorios, ya que cualquier diferencia estadística en la distribución de la variable aleatoria no uniforme, se deberá exclusivamente a la utilización de un deficiente generador de números pseudoaleatorios.

Por esta razón se explicaran algunas de las muchas pruebas estadísticas que han sido desarrolladas para probar la aleatoriedad de estos números, estas pruebas son:

-Pruebas de medias.

Pruebas de uniformidad donde entran las siguientes:

-Pruebas de Chi-cuadrada.

-Pruebas Kolmogorov-Smirnov.

Las pruebas de independencia:

-Pruebas de corrida arriba abajo.

-Pruebas de póker.

-Pruebas de Huecos.

Prueba de chi-cuadrada

Procedimiento:

1.- Generar la muestra de números aleatorios de tamaño N.

2.- Subdividir el intervalo [0,1] en n sub intervalos.

3.- Para cada sub intervalo contar la frecuencia observada F0 y calcular la frecuencia esperada FE de números aleatorios, la cual se obtiene dividiendo N/n.

4.- Calcular el estadístico de prueba.

5.- Comparar el valor calculado X02 contra el valor tabulado de la distribución X2, con (n-1) grados de libertad y una significancia? Si X02 es menor que X2(n-1)? entonces no se puede rechazar la uniformidad de los números aleatorios.

Ejemplo: Realizar la prueba de bondad de ajuste Ji-cuadrada a la siguiente muestra de tamaño 30 de números aleatorios uniformes

0.15 0.31 0.81 0.48 0.01 0.60

0.26 0.34 0.70 0.31 0.07 0.06

0.33 0.49 0.77 0.04 0.43 0.92

0.25 0.83 0.68 0.97 0.11 0.00

0.18 0.11 0.03 0.59 0.25 0.55

INTERVALO FE FO (FE-FO)2/FE

0.00 - 0.20 6 10 2.67

0.21 - 0.40 6 7 0.17

0.41 - 0.60 6 6 0.00

0.61 - 0.80 6 3 1.50

0.81 - 1.00 6 4 0.67

X20=5.01

Sea alfa= 5%. Tenemos (5-1) grados de libertad, es decir V=4. El valor en tablas de la distribución Ji cuadrada es:

X24.5% = 9.49

Como X02 es menor que X24.5% es decir; 5.01 es menor que 9.49. Entonces no se puede rechazar la uniformidad de los números aleatorios.

Pruebas Kolmogorov-Smirnov

Procedimiento

1.- Generar una muestra de números aleatorios uniformes de tamaño N.

2.- Ordenar dichos números en orden ascendente.

3.- Calcular la distribución acumulada de los números generados con la siguiente

expresión

Donde i es la posición que ocupa el número aleatorio Xi en el vector ordenado obtenido en el paso 2.

4.-Calcular el estado de prueba Kolmogorov-Smirnov del modo siguiente

Dn = máx | Fn (Xi) – Xi | para toda Xi

5.- Si Dn es menor de alfa, n, entonces no se puede rechazar la hipótesis de que los números generados provienen de una distribución uniforme. La distribución de Dnha sido tabulada como una función de n y alfa para cuando Fn (x) = F0 (x).

Ejemplo: Efectuar la prueba de Kolmogorov – Smirnov a la siguiente muestra de números aleatorios uniformes.

0.15 0.31 0.81 0.48 0.01 0.60

0.26 0.34 0.70 0.31 0.07 0.06

0.33 0.49 0.77 0.04 0.43 0.92

0.25 0.83 0.68 0.97 0.11 0.00

0.18 0.11 0.03 0.59 0.25 0.55

Sustituyendo los valores en las fórmulas correspondientes se tiene que:

i RNDi F(RNDi) RNDi- F (RNDi)

1 0.00 0.03 0.03

2 0.01 0.07 0.06

3 0.03 0.10 0.07

4 0.04 0.13 0.09

5 0.06 0.17 0.11

6 0.07 0.20 0.13

7 0.11 0.23 0.12

8 0.11 0.27 0.16

9 0.15 0.30 0.15

10 0.18 0.33 0.15

11 0.25 0.36 0.11

12 0.25 0.40 0.15

13 0.26 0.43 0.17

14 0.31 0.47 0.16

15 0.33 0.50 0.17

16 0.34 0.53 0.19

17 0.34 0.57 0.23

18 0.43 0.60 0.17

19 0.48 0.63 0.15

20 0.49 0.67 0.18

21 0.55 0.70 0.15

22 0.59 0.73 0.14

23 0.60 0.77 0.17

24 0.68 0.80 0.12

25 0.70 0.83 0.13

26 0.77 0.87 0.1

27 0.81 0.90 0.09

28 0.83 0.93 0.1

29 0.92 0.97 0.05

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