CONJUNTOS Y PROBLEMAS DE CONTEO

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UNIVERSIDAD DE SAN BUENAVENTURA - CALI

PROGRAMA DE INGENIERIA DE SISTEMAS

MATEMÁTICAS DISCRETAS I (LÓGICA)

GUÍA DE TRABAJO No 3

TEMA: CONJUNTOS Y PROBLEMAS DE CONTEO

Profesor: Walter G. Magaña S.

CAPITULO  3

CONJUNTOS

La teoría de conjuntos tiene importantes aplicaciones en la estadística y en el manejo de datos en la programación. El estudio se inicia por los conceptos y las operaciones básicas de los conjuntos, con algunas aplicaciones en los conjuntos numéricos, hasta terminar en el análisis y la solución de problemas aplicando las leyes del álgebra de los conjuntos y el principio del conteo.

3.1 IDEA INTUITIVA DE CONJUNTO

El término conjunto no se puede definir, es decir, no existen palabras más sencillas para expresar su significado. Algunas ideas intuitivas de conjunto las proporcionan una colección, reunión o agrupación de objetos o entes de cualquier índole (números, libros, empresas, personas, ideas abstractas, resultados de experimentos, cuentas financieras, entre otros) con o sin relación entre ellos.

Para simbolizar los conjuntos se emplean letras mayúsculas como A, B, C,... En cada caso debe aclararse el significado preciso del símbolo que se está utilizando.

3.2 ELEMENTO

Los objetos individuales que forman el conjunto se denominan elementos; este es otro término que no se puede definir. Puede suceder que un conjunto sea un elemento de un conjunto que lo contenga; por ejemplo, se puede precisar el conjunto de las ciudades del departamento del Valle del Cauca, pero este conjunto es a su vez, un elemento del conjunto de departamentos de Colombia.

Los elementos se simbolizan usualmente con letras minúsculas del alfabeto: a, b, c,...

3.3 RELACIÓN DE PERTENENCIA

La relación que existe entre un conjunto y sus elementos, es la relación de pertenencia, que se simboliza con la letra griega ∈ (épsilon). La relación de pertenencia, al igual que los términos conjunto y elemento, no se puede expresar en palabras más sencillas, con ella determinamos si un elemento pertenece o es miembro de un conjunto, o no pertenece o no es miembro del conjunto. Esto es: Si x es un objeto y A es un conjunto, se escribe x ∈ A, para simbolizar la proposición  “x es un elemento de A” o “x pertenece a A”. Se escribe x ∉ A para simbolizar que “x no es un elemento de A” o “x no pertenece al conjunto A”; esto es la negación de x ∈ A; por lo tanto,

¬ (x ∈ A) ⇔ (x ∉ A).

Se utilizan llaves para encerrar los elementos de un conjunto. Por ejemplo, A = {a, b, c, d} y podemos afirmar que a ∈ A y que m ∉ A.

3.4 AXIOMAS BÁSICOS

Los dos axiomas siguientes son los requisitos elementales para que exista un conjunto.

3.4.1 AXIOMA DE EXTENSIONALIDAD

Dos conjuntos A y B son iguales, se escribe A = B, si y sólo si, poseen los mismos elementos. Este axioma se expresa así:

A = B  ⇔  (∀ x) (x ∈ A ↔ x ∈ B)

Este axioma establece la igualdad de dos conjuntos. Algunas consecuencias inmediatas de este axioma son:

i. No tiene importancia el orden en que se listen los elementos. Por ejemplo: Sean los conjuntos A = {1, 3, 5}  y  B = {3, 5, 1}, con base en el axioma se tiene que A = B.

ii. No importa si un elemento se escribe más de una vez. En general, los elementos de un conjunto deben ser distintos, si uno de ellos se repite debe contarse una sola vez. Por ejemplo, el conjunto C = {1, 3, 3, 3, 5, 5} es igual a los dos conjuntos anteriores A y B establecidos en i.; por tanto, A = B = C.

Si un conjunto A posee al menos un elemento que no pertenece a otro conjunto B, ambos son distintos, es decir que A ≠ B (se lee “A es diferente de B” o “A no es igual a B”); esto es la negación de A = B; por lo tanto,

¬ (A = B) ⇔ (A ≠ B).

Si los elementos del conjunto están subindizados, entonces se entiende que los elementos son distintos; por ejemplo, los conjuntos A = {a1, a2, a3, a4} y B = {b1, b2, b3, b4} son distintos, A ≠ B.

3.4.2 AXIOMA DE ESPECIFICACIÓN (O SEPARACIÓN)

Sea A un conjunto dado y P(x) una función proposicional tal que para cada x0 ∈ A, P(x0) es una proposición que puede ser verdadera o falsa. Por lo tanto, existe un conjunto B cuyos elementos son los elementos de A para los cuales la proposición P(x) es verdadera. Se escribe simbólicamente como sigue:

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