Preinfome. La regla de la cadena y las derivadas direccionales

INFORME 2

Raul Andres Rueda Vargas

1Estudiante de Ingenieria Industrial, Universidad Industrial de Santander, Colombia
Correo electrónico: raul.rueda@saber.uis.edu.co

Fecha de elaboración 01 Mayo de 2018

Resumen— Analizaremos cómo funcionan las derivadas parciales ya que con ellas veremos la variación de una variable con respecto a otra sin afectar a las demás involucradas, podremos ver como varían acontecimientos naturales respecto a una sola variable sin depender de otra y, por la linealización y diferenciación encontraremos la aproximación lineal a una función determinada en un punto dado. Estos dos los usamos a diario para procesos empresariales, ya tengan que ver con costos, presupuestos, etc y al igual con comparaciones respecto un variable a otra en nuestro diario vivir.

La regla de la cadena y las derivadas direccionales pueden extenderse a dimensiones más altas; aquí estudiaremos estos casos para funciones multivariables y veremos ejemplos para comprender esto de manera adecuada. La derivada direccional de una función con varias variables, en dirección de un vector dado, representa la tasa de cambio de la función en la dirección de dicho vector. Muchas propiedades conocidas en las derivadas normales se mantienen en las direccionales, es importante tener esto en cuenta.

Palabras clave—  Derivadas, multivariable, direccional, vector, dimension.

Abstract— We will analyze how the partial derivatives work since with them we will see the variation of one variable with respect to another without affecting the others involved, we will be able to see how natural events vary with respect to a single variable without depending on another and, by linearization and differentiation we will find the linear approximation to a given function at a given point. These two are used daily for business processes, and have to do with costs, budgets, etc. and likewise with comparisons from one variable to another in our daily lives.

The rule of chain and directional derivatives can be extended to higher dimensions; here we will study these cases for multivariable functions and we will see examples to understand this adequately. The directional derivative of a function with several variables, in the direction of a given vector, represents the rate of change of the function in the direction of said vector. Many properties known in the normal derivatives are maintained in the directional, it is important to take this into account.

Keywords— Derivatives, multivariable, directional, vector, dimension.

1. Introducción
   

En esta guía vamos a estudiar las derivadas parciales, supongamos que conocen las derivadas ordinarias de una sola variable, pero en el multivariable vamos a considerar varias dimensiones aparte de x. También estudiaremos los conceptos de linealización y diferenciales; a partir de ahora vamos a representar  de una forma mas general; vamos a poder aproximar el resultado de una función en un punto variado a partir del valor de la función y la pendiente siempre que la función se derivable.

En esta guía vamos a estudiar la regla de la cadena, supongamos que conocen la regla de la cadena ordinaria de una sola variable, pero en el multivariable vamos a considerar varias dimensiones aparte de x. También estudiaremos los conceptos derivadas direccionales y su vector gradiente; en las funciones de varias variables analizamos las reglas y propiedades para así, entender fácilmente el tema.

1. Aproximación teórica (sección de definiciones, teoremas, propiedades, etc…)

Derivadas parciales:

Si queremos determinar la velocidad de cambio de una función de varias variables respecto alguna de sus variables usaremos este proceso.

Definición:

Si  es una función de dos variables, entonces la derivada parcial con respecto a x en un punto () es [pic 2][pic 3]

[pic 4]

y la derivada parcial con respecto a  es [pic 5]

[pic 6]

Siempre que exista el limite. (Zill 2011)

Ejemplo:

Si  determine  y [pic 7][pic 8][pic 9]

Solución: Al considerar como cte a y y derivar con respecto a x se obtiene:

[pic 10]

Y entonces [pic 11]

Si consideramos como constante a x y derivamos con respecto a y entonces

[pic 12]

[pic 13]

Funciones de más de dos variables:

Tambien se pueden definir las derivadas parciales como funciones de dos o mas variables.

Por ejemplo, si f es una función de tres variables x, y y z, entonces su derivada par cial con respecto a x se define como

[pic 14]

y se determina considerando a  y a  como constantes y derivando  con respecto a . Si , entonces se puede interpretar como la razón de cambio de w con respecto a  cuando  y  se mantienen constantes. Pero no podemos hacer una interpretación geométrica porque la gráfica de  se encuentra en un espacio de cuatro dimensiones. En general, si u es una función de n variables,  su derivada parcial con respecto a la -ésima variable  es:[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

[pic 27]

Y también escribimos:

[pic 28]

(Stewart 2006)

Diferenciales y linealización:

En las funciones diferenciables de dos variables [pic 29]

[pic 30]
https://sites.google.com/site/kevinportafoliodigital/_/rsrc/1472680435183/home/segundo-parcial/diferenciales-y-linealizacion/31.png

Ejemplo:

El radio de la base y la altura de un cono circular recto miden 10 y 25 cm, respectivamente, con un posible error en la medición de 0.1 cm en cada uno. Utilice diferenciales para estimar el máximo error en el volumen calculado del cono.

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