Reglas De La Derivada

Reglas de la derivada

SUMA

PRODUCTO POR UN NÚMERO

PRODUCTO

COCIENTE

COMPOSICIÓN

(Regla de la cadena)

POTENCIA

TRIGONOMÉTRICA

FUNCIONES ARCO

(Inversa o recíproca de las trigonométricas)

EXPONENCIALES

LOGARÍTMICAS

a) Derivada de una constante:

La derivada de una constante es cero.

Ejemplo

b) Derivada de una función

c) Derivada de una constante por una función

Cuando una función esté representada por medio de , su derivada equivale a de la siguiente manera:

Consideremos la siguiente función: , lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaña, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente:

Para obtener

Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada será el valor de la constante:

Entonces su derivada con respecto a esta variable será:

Puesto que

d) Derivada de la función inversa.

En este video se habla de la derivada de una función inversa, para lo que se parte por aclarar este concepto. Recordemos que si tenemos un conjunto de partida x, y un conjunto de llegada “y”, hemos definido una relación de estilo y=f(x), ahora, una función inversa, es simplemente devolver la relación, decimos que y es la inversa de x, si podemos encontrar la relación en el sentido contrario. Por ejemplo, con el seno inverso lo que encontramos es el ángulo para el que existe ese seno. Necesitamos también recordar cómo se calculan esas funciones inversas, necesitamos sustituir a la y por x, luego a la x por y, para proceder a despejar y. Es decir, si y=f^-1(x), entonces f(y)=x. Se busca una fórmula que nos permita encontrar y’, que es finalmente la derivada de la función con respecto a x. Como lo que tenemos es una derivada de una función de y, para derivarla con respecto a x, debemos utilizar regla de la cadena o derivación implícita. En el video se realizan varios ejemplos en los cuales se deduce una fórmula para hallar la derivada de una función inversa, y se muestra cómo aplicarla.

En matemática, la inversa de una función es una función que, en cierta manera, "deshace" el efecto de (ver el artículo función inversa para una definición formal). La inversa de se denota como . Las expresiones y son equivalentes.

Sus respectivas derivadas, asumiendo que existen, son recíprocas, tal y como se deduce a partir de la notación de Leibniz:

Eso es una consecuencia directa de la regla de la cadena, ya que

y la derivada de respecto es 1.

Escribiendo explícitamente la dependencia de respecto y el punto donde se calcula la derivada y usando la notación de Lagrange, la fórmula de la derivada de la inversa es

Geométricamente, una función y su inversa tienen gráficas que son reflexiones respecto la línea . Esta reflexión transforma el gradiente de cualquier línea en su recíproco.

Asumiendo que tiene inverso en un entorno de y que su derivada en este punto es distinta de cero, su inversa será diferenciable en y que su derivada viene dada por la expresión anterior.

Funciones inversas y diferenciación

Artículo principal: Derivada de la función inversa

Si ,

entonces ,

y si y su inversa son diferenciables,

entonces para los casos en que y cuando ,

e) Derivada de una suma, producto, y cociente de una función

La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones.

Esta regla se extiende a cualquier número de sumandos, ya sean positivos o negativos.

Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cada una.

Es decir, o .

Como ejemplo consideremos la función , para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada término aparte y la suma de ambos será la derivada de la función:

Ejemplos

Derivada de un producto:

La derivada se expresa literalmente de la siguiente forma:

"La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada

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