CÁLCULO DIFERENCIAL

Derivación de funciones trigonométricas

d/dx (sen u)=cos u . du/dx

d/dx (cos u)=-sen u . du/dx

d/dx (tan u)=〖sec〗^2 u . du/dx

d/dx (ctg u)=〖-csc〗^2 u . du/dx

d/dx (sec u)=sec u tan u . du/dx

d/dx (csc u)=-csc u ctg u . du/dx

*Nota: u representa al ángulo que acompaña a la función trigonométrica.

Ejemplos: Hallar las siguientes derivadas

f(x)=3 sen x

Sol.

Sea u=x, entonces:

f '(x)=3 sen u . du/dx

f '(x) =3 cos u (1)

f '(x) =3 cos x

f(x)=x+cos x

Sol.

f '(x)=d/dx (x)+ d/dx(cos x)

Sea u=x, entonces:

f '(x)=1 + d/dx(cos u)

f '(x)=1-sen u (1)

f '(x)=1-sen x

f(x)=cos 3x^2

Sol.

Sea u=3x^2, entonces:

f '(x)= d/dx(cos u)

f '(x)= -sen u . du/dx

f '(x)= -sen (3x^2) .(6x)

f '(x)= -6x sen 3x^2

f(x)=(x-sen x)(x+cos x )

Sol.

Aplicando la regla del producto:

f '(x)=(x-sen⁡〖x )〗 d/dx (x+cos⁡〖x)+(〗 x+ cos x) d/dx (x-sen⁡〖x)〗

f '(x)=(x-sen⁡〖x )〗 (1-sen x )+ (x+cos⁡〖x ) (1-cos⁡〖x)〗 〗

f(t)=Tan (3t^2+ 2t)

Sol.

Sea u=3t^2+2t, entonces:

f '(t)= d/dx(tan u)

f '(t)= 〖sec〗^2 u . du/dx

f '(t)= 〖sec〗^2 (3t^2+2t) (6t+2)

f '(t)= 2(3t+1) 〖sec〗^2 (3t^2+2t)

D_x (〖sec〗^4 2x^2)

Sol.

Reescribiendo la función, tenemos: (sec⁡〖2x^2 〗 )^4

Sea u=2x^2, entonces:

〖D_x (sec⁡〖2x^2 〗 )〗^4=4(sec⁡〖2x^2 〗 )^3 .〖[D〗_(x ) (sec⁡〖 u). D_x u]〗

〖〖 D〗_x (sec⁡〖2x^2 〗 )〗^4=4(sec⁡〖2x^2 〗 )^3 〖(sec〗⁡〖 2x^(2 ) tan⁡〖2x^(2 ) 〗) (4x)〗

〖〖 D〗_x (sec⁡〖2x^2 〗 )〗^4=16 x (sec⁡〖2x^2 〗 )^4 (tan2x^(2 ))

〖〖 D〗_x (sec⁡〖2x^2 〗 )〗^4=16 x 〖sec〗^4 2x^2 tan2x^(2 )

Ejercicios propuestos: Determinar la derivada de las siguientes funciones.

f(x)=sen x+cos x

f(x)=sen πx+cos πx

f(x)=tan x+cot x

f(x)=x^2-3 sen x

f(x)=π cos x

f(x)=π cos x

f(x)=4√x+ 3 cos x

f(x)=cot x csc x

f(θ)=5 cot θ+tan 3θ

f(x)=x^2 cos x-2x sen x-2 cos x

f(x)=2 cos x/2

f(x)=((x+4)/(cos x))

f(x)=〖sen〗^2 (cos 2x)

y=〖〖(tan〗^2 x-x^2)〗^3

f(t)=√(4 〖sen〗^2 t+9 〖cos〗^2 t)

Derivación de funciones exponenciales

Recordemos que el número natural se define como el límite: e= lim┬(x→0)⁡〖〖(1+x)〗^(1⁄x) 〗 y su

aproximación decimal es e ≈2.718281

Sea u una función derivable de x.

d/dx (e^x )= e^x

d/dx (e^u )= e^u . du/dx

Ejemplos:

Hallar la pendiente de la recta tangente a la función f(x)=e^2x en (0,1).

Sol. Sea u=2x, entonces:

f '(x)= e^u.du/dx

f '(x)= e^2x.(2)

f '(x)= 〖2 e〗^2x

Entonces: f '(0)= 〖2 e〗^(2(0))

f '(0)= 〖2 e〗^0

f '(0)= 2

Determinar la derivada de f(x)=(x+1) e^3x

Sol. Aplicando la regla del producto

f '(x)=(x+1) . d/dx (e^3x )+(e^3x ) d/dx(x+1)

f '(x)=(x+1) . (e^3x )(3)+(e^3x ) (1)

f '(x)=(3x+3) (e^3x )+(e^3x )

f '(x)=(e^3x )[(3x+3)+1]

f '(x)=(3x+4)(e^3x )

Determinar la derivada de f(x)=〖(e^(-x)+e^x)〗^3

Sol. Aplicando la regla de la cadena:

f '(x)=3 (e^(-x)+e^x )^2 [e^(-x).(-1)+e^x.(1)]

f '(x)=3 (e^(-x)+e^x )^2 [-e^(-x)+e^x]

f '(x)=3 (-e^(-x)+e^x)(e^(-x)+e^x )^2

Determinar la derivada de f(x)=e^(2 sen 3x)

Sol. Sea u=2 sen 3x, entonces:

f '(x)= e^u d/dx (2 sen 3x)

f '(x)= e^u [2 cos⁡〖2x (3)]〗

f '(x)= 〖6 cos⁡〖3x 〗 e〗^(2 sen 3x)

Ejercicios propuestos: Determinar la derivada de las siguientes funciones.

f(x)=e^(-2x+x^2 )

f(x)=e^√x

...