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Cálculo diferencial probremas resueltos

ronaldivanTarea4 de Agosto de 2023

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EJERCICIO N°01

  1. f (x) = [cos(x)]sin( x)

y =[cos(x)]sin( x)

y = sin(x) ln(cos(x)) y[pic 1]


Utilizamos la fórmula de la deriva de una función potencial – exponencial y desarrollamos aplicando logaritmos.

Utilizando la propiedad del logaritmo de una potencia, bajamos el exponente.

y = cos(x) ln(cos(x)) + sin(x) .sin(x) y        cos(x)[pic 2][pic 3]


Aplicamos la propiedad de la derivada de un producto y la fórmula de la derivada del logaritmo natural.

        sin( x)  [pic 4]


sin2 (x)

[pic 5]

y = [cos(x)]


cos(x).ln(cos x)  cos(x)


Ordenamos la expresión.

y = [cos(x)]sin( x)  cos(x).ln(cos x)  sin2 (x).cos(x)1 


Multiplicamos por el valor de y.

  1. f (x) =

xee


xex

xex

y = xee

ex

ln y = ln xeex

xex

ln y = ee        .ln(x)


Utilizamos la fórmula de la deriva de una función potencial – exponencial y desarrollamos aplicando logaritmos.

Utilizando la propiedad del logaritmo de una potencia, bajamos el exponente.

y        ex     d        x[pic 6]

ee                  ex

[pic 7]


ex

.ln(x) +        ee[pic 8][pic 9]


Aplicamos la propiedad de la derivada de un producto y la fórmula de la derivada del logaritmo natural.

y        dx        x[pic 10]

y = ee y[pic 11]


xex


x[pic 12][pic 13]

.ex .[pic 14]

dx


xex .ln(x) +


1 ee x


xex


Aplicamos la fórmula de la derivada de una función exponencial.

y = ee[pic 15]


xex


x[pic 16]

.ex


. xe


x  ex

[pic 17]


e ln(x) .ln(x) +[pic 18][pic 19]


1 ee


xex


Ordenamos la expresión.[pic 20]

y

exe      [pic 21]


xex


 x

ex        x


 ex


x

        ee


xex  

y = xe


ee


+x         xe .ln(x).


  • ex ln(x)  +

x        [pic 22]


x   ⎪⎭[pic 23]


Multiplicamos por el valor de y.

A = xex

A = ex ln(x) A[pic 24]


Igualamos la derivada de la función potencial a un A y desarrollamos.

Utilizamos la fórmula de la deriva de una función potencial – exponencial y desarrollamos aplicando logaritmos.

A = ex. 1 + ex +1.ln(x) A        x[pic 25][pic 26]


Utilizando la propiedad del logaritmo de una potencia, bajamos el exponente.

        ex  ex        x

[pic 27]


        Aplicamos la propiedad de la derivada de un producto y la fórmula de

A = x


 x + e ln(x)


la derivada del logaritmo natural; Multiplicamos por el valor de A.

        

EJERCICIO N°02

dy        2(1)(1)  (1)3  (1)(1)2[pic 28][pic 29]


2 11        0

a)   (x2 + y2) = 4x2 y;


p(1,1)


dx =        (1)(1)2 + (1)3  (1)3


=

1+1[pic 30]


=        = 0

1        1[pic 31]

(x2 + y2 )2  = 4x2 y

2(x2 + y2 )  2x + 2 y dy  = 4  2xy + x2 dy

[pic 32][pic 33]


Derivamos ambos miembros de la ecuación.

        dx         


dx

                        

(2x2 + 2 y2 )  2x + 2 y dy  = 8xy + 4x2 dy[pic 34][pic 35]

        dx         dx

        

4x3 + 4 yx2 dy + 4xy2 + 4 y3 dy = 8xy + 4x2 dy dx        dx        dx[pic 36][pic 37][pic 38]

4 yx2 dy + 4 y3 dy  4x2 dy = 8xy  4x3  4xy2[pic 39][pic 40][pic 41]

...

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