Cálculo diferencial probremas resueltos

EJERCICIO N°01

1. f (x) = [cos(x)]sin( x)

y =[cos(x)]sin( x)

y′ = sin(x) ln(cos(x)) y[pic 1]

Utilizamos la fórmula de la deriva de una función potencial – exponencial y desarrollamos aplicando logaritmos.

Utilizando la propiedad del logaritmo de una potencia, bajamos el exponente.

y′ = cos(x) ln(cos(x)) + −sin(x) .sin(x) y        cos(x)[pic 2][pic 3]

Aplicamos la propiedad de la derivada de un producto y la fórmula de la derivada del logaritmo natural.

′        sin( x)  ⎡[pic 4]

sin2 (x) ⎤

[pic 5]

y = [cos(x)]

⎢cos(x).ln(cos x) − cos(x) ⎥

Ordenamos la expresión.

y′ = [cos(x)]sin( x)  ⎡⎣cos(x).ln(cos x) − sin2 (x).cos(x)−1 ⎤⎦

Multiplicamos por el valor de y.

1. f (x) =

xee

xex

xex

y = xee

ex

ln y = ln xeex

xex

ln y = ee        .ln(x)

Utilizamos la fórmula de la deriva de una función potencial – exponencial y desarrollamos aplicando logaritmos.

Utilizando la propiedad del logaritmo de una potencia, bajamos el exponente.

y′        ex     d        x[pic 6]

ee                  ex

[pic 7]

ex

.ln(x) +        ee[pic 8][pic 9]

Aplicamos la propiedad de la derivada de un producto y la fórmula de la derivada del logaritmo natural.

y        dx        x[pic 10]

y′ = ee y[pic 11]

xex

x[pic 12][pic 13]

.ex .[pic 14]

dx

xex .ln(x) +

1 ee x

xex

Aplicamos la fórmula de la derivada de una función exponencial.

y′ = ee[pic 15]

xex

x[pic 16]

.ex

. xe

x ⎛ ex

[pic 17]

⎞

e ln(x) ⎟.ln(x) +[pic 18][pic 19]

1 ee

xex

Ordenamos la expresión.[pic 20]

y

exe      ⎧⎪[pic 21]

xex

⎝ x

ex        x

⎠

⎛ ex

x

⎞        ee

xex  ⎫

y′ = xe

⎨ee



+x        ⋅ xe .ln(x).⎜



• ex ln(x) ⎟ +

x        ⎠[pic 22]

⎬

x   ⎪⎭[pic 23]

Multiplicamos por el valor de y.

A = xex

A′ = ex ln(x) A[pic 24]

Igualamos la derivada de la función potencial a un A y desarrollamos.

...