Cálculo diferencial probremas resueltos
ronaldivanTarea4 de Agosto de 2023
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EJERCICIO N°01
- f (x) = [cos(x)]sin( x)
y =[cos(x)]sin( x)
y′ = sin(x) ln(cos(x)) y[pic 1]
Utilizamos la fórmula de la deriva de una función potencial – exponencial y desarrollamos aplicando logaritmos.
Utilizando la propiedad del logaritmo de una potencia, bajamos el exponente.
y′ = cos(x) ln(cos(x)) + −sin(x) .sin(x) y cos(x)[pic 2][pic 3]
Aplicamos la propiedad de la derivada de un producto y la fórmula de la derivada del logaritmo natural.
′ sin( x) ⎡[pic 4]
sin2 (x) ⎤
[pic 5]
y = [cos(x)]
⎢cos(x).ln(cos x) − cos(x) ⎥
Ordenamos la expresión.
y′ = [cos(x)]sin( x) ⎡⎣cos(x).ln(cos x) − sin2 (x).cos(x)−1 ⎤⎦
Multiplicamos por el valor de y.
- f (x) =
xee
xex
xex
y = xee
ex
ln y = ln xeex
xex
ln y = ee .ln(x)
Utilizamos la fórmula de la deriva de una función potencial – exponencial y desarrollamos aplicando logaritmos.
Utilizando la propiedad del logaritmo de una potencia, bajamos el exponente.
y′ ex d x[pic 6]
ee ex
[pic 7]
ex
.ln(x) + ee[pic 8][pic 9]
Aplicamos la propiedad de la derivada de un producto y la fórmula de la derivada del logaritmo natural.
y dx x[pic 10]
y′ = ee y[pic 11]
xex
x[pic 12][pic 13]
.ex .[pic 14]
dx
xex .ln(x) +
1 ee x
xex
Aplicamos la fórmula de la derivada de una función exponencial.
y′ = ee[pic 15]
xex
x[pic 16]
.ex
. xe
x ⎛ ex
[pic 17]
⎞
e ln(x) ⎟.ln(x) +[pic 18][pic 19]
1 ee
xex
Ordenamos la expresión.[pic 20]
y
exe ⎧⎪[pic 21]
xex
⎝ x
ex x
⎠
⎛ ex
x
⎞ ee
xex ⎫
y′ = xe
⎨ee
+x ⋅ xe .ln(x).⎜
- ex ln(x) ⎟ +
x ⎠[pic 22]
⎬
x ⎪⎭[pic 23]
Multiplicamos por el valor de y.
A = xex
A′ = ex ln(x) A[pic 24]
Igualamos la derivada de la función potencial a un A y desarrollamos.
Utilizamos la fórmula de la deriva de una función potencial – exponencial y desarrollamos aplicando logaritmos.
A′ = ex. 1 + ex +1.ln(x) A x[pic 25][pic 26]
Utilizando la propiedad del logaritmo de una potencia, bajamos el exponente.
′ ex ⎛ ex x
[pic 27]
⎞ Aplicamos la propiedad de la derivada de un producto y la fórmula de
A = x
⎜ x + e ln(x) ⎟
la derivada del logaritmo natural; Multiplicamos por el valor de A.
⎝ ⎠
EJERCICIO N°02
dy 2(1)(1) − (1)3 − (1)(1)2[pic 28][pic 29]
2 −1−1 0
a) (x2 + y2) = 4x2 y;
p(1,1)
dx = (1)(1)2 + (1)3 − (1)3
=
1+1−[pic 30]
= = 0
1 1[pic 31]
⎡⎣(x2 + y2 )2 ⎤⎦′ = ⎡⎣4x2 y⎤⎦′
2(x2 + y2 ) ⎛ 2x + 2 y dy ⎞ = 4 ⎛ 2xy + x2 dy ⎞
[pic 32][pic 33]
Derivamos ambos miembros de la ecuación.
⎜ dx ⎟ ⎜
dx ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(2x2 + 2 y2 ) ⎛ 2x + 2 y dy ⎞ = 8xy + 4x2 dy[pic 34][pic 35]
⎜ dx ⎟ dx
⎝ ⎠
4x3 + 4 yx2 dy + 4xy2 + 4 y3 dy = 8xy + 4x2 dy dx dx dx[pic 36][pic 37][pic 38]
4 yx2 dy + 4 y3 dy − 4x2 dy = 8xy − 4x3 − 4xy2[pic 39][pic 40][pic 41]
...