Derivacion hacia atraza

Método de Derivación Centrada

Jordy Cevallos, Jefferson Curay, Gabriel García, Maritza Fernández, Cristhian Pachacama, Danilo Urbano,
Erika Toro, Victoria Yánez

Departamento de Ciencias Exactas, Universidad de las Fuerzas Armadas – ESPE                                                        

Sangolquí, Ecuador

jordicin2011@hotmail.com

jecuray1ed@hotmail.com
gmgarcia3@espe.edu.ec
iza.pao@hotmail.com

cjpachacama3@espe.edu.ec
danilodano94@hotmail.com
eatoro@espe.edu.ec

victoria.yanez.94@gmail.com

Abstract— In this paper we analyze the numerical method of

derivation center to solve problems derived from first and second order with initial values ​​which evaluate.

Resumen— En este documento analizaremos el método numérico  de derivación centrada  para resolver problemas de derivadas de primer y segundo orden con valores iniciales donde evaluar.

1. INTRODUCCIÓN

Gracias al cálculo de derivadas es posible resolver problemas en los que intervengan dos magnitudes y queramos determinar el valor de una de ellas para que la otra alcance un valor máximo o mínimo. Como sabemos, la derivada de una función en un punto es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

1. DEFINICION DE DERIVADA

La derivada de una función f(x) en un punto es el valor del límite, si este valor existe. Por definición se sabe que la derivada de una función f(x) está dada de la siguiente forma:

[pic 1]

La derivación numérica es una técnica de análisis numérico utilizada para calcular una aproximación a  la derivada de una función en un punto utilizando los valores y propiedades de la misma, no es necesario conocer la expresión analítica de esta. Para hallar numéricamente la derivada de f(x) se considera una aproximación de su definición:

[pic 2]

1. DEMOSTRACION DEL METODO DE DERIVACION CENRADA

Para calcular numéricamente la derivada de f (x) se puede considerar una aproximación intuitiva de su definición:

[pic 3]

Es decir, la línea secante (o cuerda) en dos puntos próximos.

Geométricamente tenemos [1]

[pic 4]

Fig1. Fórmula de la derivada centrada

Dada una función continua , se trata de aproximar numéricamente su derivada en un punto .[pic 5][pic 6]

Consideramos el desarrollo de la  serie de Taylor:

[pic 7]

[pic 8]

Restando las dos desigualdades y despejando f(x) se llega a la fórmula centrada:

[pic 9]

El resto en este caso es de segundo orden [pic 10]

De otra manera si sumamos las dos desigualdades y despejando f’’(x) se llega a la fórmula centrada de segundo orden:

[pic 11]

El resto es de segundo orden [2][pic 12]

1. ESTIMACION Y ERROR

Considerando la ecuación de diferencias centradas.

[pic 13]

[pic 14]

La aproximación a la derivada es f(x0 + h) - f(x0 - h)/2h, y el error en la aproximación es  . [pic 15]

Este error aparece en el cálculo de ƒ(x + h) – ƒ(x – h) en el numerador de la aproximación ya que si al evaluar ƒ(x + h) y ƒ(x – h) se encuentra que )  y  son los errores del redondeo:[pic 16][pic 17]

  [pic 18]

  [pic 19]

[pic 20]

Luego el error total en la aproximación es:

[pic 21]

1. CALCULO DE ERROR GENERAL

Si , donde es un intervalo que contiene los nodos , entonces se tiene que el error cometido para la primera derivada en los nodos se verifica la acotación:[pic 22][pic 23][pic 24]

[3][pic 25]

1. VENTAJAS

1. Este método es mucho más preciso que el método de diferencias hacia atrás y el método de diferencias hacia adelante.

1. DESVENTAJAS

1. El método tiene más funciones de evaluar por lo que su algoritmo es más tedioso y echo analíticamente más propenso a fallar por el número de iteraciones.

1. DIAGRAMA DE FLUJO

[pic 26]

1. IMPLEMENTACION MATLAB

p=1;

q=1;

ii=0;

w=1;

rinfx=1;

rsupx=0;

rinfy=1;

rsupy=0;

disp('Método de Derivacion Centrada:') %Nombre del método

disp('')

disp('***MENÚ***') %Impresión

    disp('1) Ingreso de la funcion, y comparacion con valor real: .') %Impresion opcion 1  

    disp('2) Ingreso por puntos e interpolacion: .') %Impresion opcion 2

    disp('3) Ingreso por pantalla grafica: ') %Impresion opcion 3

    disp('4) Salir ')

    disp('  ');%Impresion espacio en blanco

        opc=input('Ingrese la opción de Menú: '); %Ingreso de la opcion

    while ((opc<1)||(opc>4)) %Validación de la opción del menu

        opc=input('Ingrese la opción de Menú: '); %Ingreso del rango

    end %Fin del ciclo

switch opc  %Elección de aplicaciones

        case 1

            syms x

            funcion1=input('Ingrese la funcion deseada (en terminos de x): ');

...