Ecuación de Bernoulli (Ecuaciones diferenciales)
Enviado por Moreno_Xavier • 27 de Noviembre de 2021 • Ensayo • 1.296 Palabras (6 Páginas) • 255 Visitas
ECO 1: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
ECUACIÓN DE BERNOULLI:
Una ECUACIÓN DE BERNOULLI es de la forma:
𝒅𝒚 + 𝑷(𝒙)𝒚 = 𝒚𝒏 𝒇(𝒙)[pic 1]
𝒅𝒙
Para resolver la Ecuación de Bernoulli es necesario efectuar la sustitución:
𝑢 = 𝑦1−𝑛
Utilizamos la regla de la cadena para obtener la derivada 𝑑𝑢:
𝑑𝑥
𝑑𝑢 = (1 − 𝑛)𝑦−𝑛 𝑑𝑦[pic 2][pic 3]
𝑑𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑦 1 𝑑𝑢
𝑑𝑥 = (1 − 𝑛)𝑦−𝑛 (𝑑𝑥)[pic 4][pic 5][pic 6]
𝑑𝑦
[pic 7]
𝑑𝑥
𝑦𝑛
=[pic 8]
(1 − 𝑛)
𝑑𝑢
( )[pic 9]
𝑑𝑥
Realizamos las sustituciones en la Ecuación de Bernoulli:
𝒅𝒚 + 𝑷(𝒙)𝒚 = 𝒚𝒏 𝒇(𝒙)[pic 10]
𝒅𝒙
𝑦𝑛
[[pic 11]
(1 − 𝑛)
𝑑𝑢
([pic 12]
𝑑𝑥
)] + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝒚𝒏 𝒇(𝒙) → 𝑬𝑫 𝑳𝑰𝑵𝑬𝑨𝑳
Con la sustitución empleada hemos transformado la Ecuación de Bernoulli en una ED LINEAL:
𝑦𝑛
[[pic 13]
(1 − 𝑛)
𝑑𝑢
([pic 14]
𝑑𝑥
)] + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝒚𝒏 𝒇(𝒙)
Multiplicamos la ED por
1−𝑛
𝑦𝑛 para dar la forma estándar:[pic 15]
1 − 𝑛
{[[pic 16][pic 17]
𝑦𝑛
𝑑𝑢
( )] + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝒚𝒏 𝒇(𝒙)}[pic 18]
𝑦𝑛
(1 − 𝑛)
𝑑𝑥
𝑑𝑢 + (1 − 𝑛) 𝑃(𝑥)𝑦 = (1 − 𝑛) 𝒚𝒏𝒇(𝒙)[pic 19][pic 20][pic 21]
𝑑𝑥
𝑦𝑛
𝑦𝑛
𝑑𝑢 + (1 − 𝑛)𝑃(𝑥)𝑦1−𝑛 = (1 − 𝑛) 𝒇(𝒙)[pic 22]
𝑑𝑥
𝒅𝒖
[pic 23]
𝒅𝒙
+ (𝟏 − 𝒏)𝑷(𝒙)𝒖 = (𝟏 − 𝒏) 𝒇(𝒙)
La anterior es una ED Lineal que ya vimos cómo resolver. A continuación, se resume en un formulario lo anterior:
[pic 24][pic 25][pic 26]
EJEMPLO 1:
Resuelve la siguiente ECUACIÓN DE BERNOULLI:
𝒙𝟐 𝒅𝒚 − 𝟐𝒙𝒚 = 𝟑𝒚𝟒 𝒚(𝟏) = 𝟏[pic 27][pic 28]
𝒅𝒙 𝟐
Solución:
Escribimos la ED en la forma estándar:
𝑥2 𝑑𝑦 − 2𝑥𝑦 = 3𝑦4[pic 29]
𝑑𝑥
𝑑𝑦 − 2𝑥 𝑦 = 3 𝑦4[pic 30][pic 31][pic 32]
𝑑𝑥
𝑑𝑦
[pic 33]
𝑥2
2
[pic 34]
𝑥2
−2 4
𝑑𝑥
− 𝑦 = 3𝑥 𝑦
𝑥
Utilizamos el formulario:
[pic 35][pic 36][pic 37]
𝑑𝑦
[pic 38]
𝑑𝑥
2
− 𝑦 = 3𝑥[pic 39]
𝑥
2
−2𝑦4
𝑃(x) = −[pic 40]
𝑥
𝑓(x) = 3𝑥−2
𝑛 = 4 ∴ 𝑢 = 𝑦1−4 = 𝑦−3
𝑑𝑢
[pic 41]
𝑑𝑥
+ (1 − 𝑛)𝑃(𝑥)𝑢 = (1 − 𝑛) 𝑓(𝑥)
𝑑𝑢 + (1 − 4) (− 2) 𝑢 = (1 − 4) (3𝑥−2)[pic 42][pic 43]
𝑑x 𝑥
𝑑𝑢
[pic 44]
𝑑𝑡
6
+ 𝑢 = −9 𝑥−2[pic 45]
x
→ 𝐸𝐷 𝐿𝐼𝑁𝐸𝐴𝐿
Identificamos los nuevos P(x) y f(x):
6
𝑃(𝑥) = 𝑥[pic 46]
𝑦 𝑓(𝑥) = −9 𝑥−2
Calculamos el FI:
6𝑑𝑡[pic 47]
𝑒 𝑥
= 𝑒
6𝑙𝑛(𝑥)
= 𝑒
𝑙𝑛(𝑥)6
= 𝑥6
𝑑
[pic 48]
𝑑𝑥
(𝑥6𝑢) = (𝑥6)(−9 𝑥−2)
𝑑
[pic 49]
𝑑𝑥
(𝑥6𝑢) = −9 𝑥4
∫ 𝑑((𝑥6𝑢)) = ∫ −9 𝑥4𝑑𝑥
𝑥6𝑢 = −
9 𝑥5
+ C[pic 50]
5
9 𝑥5 C
𝑢 = − 5𝑥6 + 𝑥6[pic 51][pic 52]
9 C
𝑢 = − 5x + 𝑥6[pic 53][pic 54]
Sabemos que:
𝑢 = 𝑦1−𝑛 → 𝑢 = 𝑦1−4 = 𝑦−3
...