Estadistica, función de probabilidad

Ahora estamos en posición de definir una función de probabilidad.

Definición 1.2.4 Dado un espacio de muestra S y un álgebra sigma asociada B, una función de probabilidad es una función P con dominio B que satisface

1. P(A) ≥ 0 para todo A ϵ B
2. P(S) = 1.
3. Si A1,A2,… ϵ B son desunión par, luego P()= [pic 1][pic 2]

(Axioma de aditividad contable)

Las tres propiedades que figuran en la Definición 1.2.4 se suelen denominar como Los Axiomas de Probabilidad (o los Axiomas de Kolmogorov, después de A. Kolmogorov, uno de los padres de la teoría de la probabilidad). Cualquier función P que satisfaga los axiomas de probabilidad se llama función de probabilidad. La definición axiomática no hace ningún intento de decir qué función particular P debe elegir; simplemente requiere P para satisfacer los axiomas. Para cualquier espacio de muestra se pueden definir muchas funciones de probabilidad diferentes. La(s) cual(es) refleja(n) lo que es probable que se observe en un experimento particular aún está por discutir.

Ejemplo 1.2.5 (Definir probabilidades-I) Considere el experimento simple de lanzar una moneda justa, entonces S = {A, C}. Por una moneda "justa" nos referimos a una moneda equilibrada que tiene la misma probabilidad de obtener "Águila" como "Cello", y por lo tanto, la función de probabilidad razonable es la que calcula probabilidades iguales para Águilas y Cellos, es decir

(1.2.2)                                                                  P({A}) = P({C}).

Tenga en cuenta que (1.2.2) no se sigue de los axiomas de probabilidad, sino que está fuera de los axiomas. Hemos usado la interpretación de la simetría de probabilidad (o solo intuición) para imponer el requisito de que las cabezas y las colas sean igualmente probables. Dado que S = {A} ∪ {C}, tenemos, del Axioma 2, P ({A} ∪ {C}) = 1. Además, {A} y {C} están separados, así que P ({A} ∪ {C}) = P ({A}) + P ({C}) y

(1.2.3)                                                                  P({A}) + P({C}) = 1.

La resolución simultánea (1.2.2) y (1.2.3) muestra que P ({A}) = P ({C}) = . [pic 3]

Como (1.2.2) se basa en nuestro conocimiento del experimento en particular, no en los axiomas, cualquier valor no negativo para P ({A}) y P ({C}) que cumpla (1.2.3) define una función de probabilidad legítima. Por ejemplo, podríamos elegir P({A}) =  and P({C}) = .[pic 4][pic 5]

Necesitamos métodos generales para definir funciones de probabilidad que sabemos que siempre satisfarán los Axiomas de Kolmogorov. No queremos tener que verificar los Axiomas para cada nueva función de posibilidad de ejecución, como hicimos en el Ejemplo 1.2.5. A continuación se proporciona un método común para definir una función de probabilidad legítima.

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