Fundamentos de Probabilidad

Unidad II. Fundamentos de Probabilidad

1. Espacio muestral y eventos

Los estadísticos utilizan la palabra experimento para describir cualquier proceso que genere un conjunto de datos. Un ejemplo simple de experimento estadístico es el lanzamiento de una moneda al aire. En estadística nos interesan, en particular, las observaciones que se obtienen al repetir varias veces un experimento, el proceso de generar los datos forma parte de un experimento.

Al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico se le llama espacio muestral y se representa con el símbolo 𝑺 .

A cada resultado en un espacio muestral se le llama elemento del espacio muestral. Por consiguiente, el espacio muestral 𝑆, de los resultados posibles cuando se lanza una moneda al aire, se puede escribir como:

𝑺 = {𝑠, 𝑎}

en donde 𝑠, 𝑎 corresponden a “sello” y “águila respectivamente.

En cualquier experimento dado podríamos estar interesados en la ocurrencia de ciertos eventos que se definen como subconjuntos de un espacio muestral, por ejemplo, estamos interesados en el evento A, definido como el resultado de lanzar un dado es divisible entre 3, donde el espacio muestral 𝑺 sería el siguiente:

𝑺 = {1,2,3,4,5,6}

Y el evento A resultado de lanzar un dado es divisible entre 3, esta definido de la siguiente manera:

𝑨 = {3,6}

Obsérvese que el espacio muestral 𝑆 contiene dos elementos que definen al evento A, siendo este un subconjunto del espacio muestral 𝑺.

Es posible concebir que un evento puede ser un subconjunto que incluye todo el espacio muestral 𝑺, o un subconjunto de 𝑺 que se denomina conjunto vacío y se denota con el símbolo ∅, que no contiene ningún elemento.

1. El complemento de un evento A respecto de S es el subconjunto de todos los elementos de

𝑺 que no están en A. Denotamos el complemento de A mediante el símbolo A´. Continuamos con el ejemplo donde el evento A resultado de lanzar un dado es divisible entre 3, 𝑨 = {3,6}, su complemento A´ queda definido por: 𝑨´ = {1,2,4,5}, observe que son los elementos restantes del espacio muestral 𝑺. La relación entre eventos y el espacio muestral se puede ilustrar de forma gráfica con el diagrama de Venn, el espacio muestral se representa en forma de rectángulo y los eventos con círculos dentro del rectángulo.

A continuación ilustraremos el complemento de un evento A:

𝑆[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4]

𝑨

𝐴´

Realizado por: Cinthia Flores P𝐴and´o, Karla Gutiérrez Enríquez y Rita Luna Gándara

1. La intersección de dos eventos A y B, que se denota con el símbolo 𝑨 ∩ 𝑩, es el evento que contiene todos los elementos que son comunes a A y a B. Lo ilustraremos de la siguiente manera:

[pic 5][pic 6]

Para el ejemplo anterior el evento 𝑨 ∩ 𝑩 = 5 y 6.

1. Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes si 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅, es decir si A y B no tienen elementos en común.[pic 7][pic 8]

Como podemos ver en las dos imágenes anteriores no existe elementos para 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅.

1. Probabilidad de un evento y reglas aditivas

Probabilidad se refiere a la probabilidad de un evento simple, 𝑷(𝑨), cuyo valor varía entre 0 y 1. Para el cálculo de dicha probabilidad debemos definir primero los elementos del espacio muestral 𝑺 (𝑵) y posteriormente definir los elementos del evento 𝑨 (𝒏), una vez definidos, para calcular la probabilidad debemos dividir los elementos del evento 𝑨 entre los elementos del espacio muestral 𝑺, representado de la siguiente manera:

𝒏

Donde:

𝑷(𝑨) = probabilidad del evento 𝑨

𝒏 = elementos del evento 𝑨

𝑵 = elementos del espacio muestral 𝑺

𝑷(𝑨) =

𝑵[pic 9]

Realizado por: Cinthia Flores Pando, Karla Gutiérrez Enríquez y Rita Luna Gándara

Retomemos el ejemplo donde el espacio muestral 𝑺 corresponde a los valores obtenidos al lanzar un dado 𝑺 = {1,2,3,4,5,6} y se define al evento A como el resultado de lanzar un dado es divisible entre 3, siendo 𝑨 = {3,6}, por lo tanto, calculamos la probabilidad del evento A, como sigue:

Reglas Aditivas

𝑷(𝑨) =

𝒏        𝟐

=[pic 10][pic 11]

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