GEOMETRIA EN EL ESPACIO

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO

El conjunto de todos los pares ordenados de números reales recibe el nombre de espacio numérico bidimensional y se denota por R2 = {(x,y) / (x,y) ϵ R} y se representa por el plano xy.

El conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales recibe el nombre de espacio numérico tridimensional y se denota por R3 = {(x,y,z) / (x,y,z) ϵ R} y está representado por:

En general el conjunto de todos los grupos de n-esimo orden se denotan por Rn = {(x1,x2…….xn) / {(x1,x2…….xn) ϵ R} y el conjunto de todos los grupos ordenados, se conoce como el espacio Euclidiano.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Si A(x,y) y B(x0,y0) dos puntos de R2 la distancia entre A y B es:

d =

Si A(x,y,z) y B(x0,y0,z0) dos puntos de R3 la distancia entre A y B es:

d =

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO

Dados los puntos A(x,y,z) y B(x0,y0,z0) dos puntos de R3 el punto medio entre A y B tiene coordenadas: Pm =

Ejercicios:

1- Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son A (1, 0, 0) y B(0, 1, 0). Las coordenadas del centro M son M(0, 0, 1). Hallar las coordenadas de los vértices C y D y graficar el paralelogramo

2- Calcular el perímetro del triangulo de vértices A (0, 1,2), B (-1, 0,-1) y C (2,-1,0). Grafique los puntos.

3- Si los puntos A (1,-2,9), B (4, 2,6) y C (1, 0,-1) son los vértices de un paralelogramo, calcular el cuarto vértice. Grafique los puntos.

4- Determinar los valores de m para que los puntos A(m, 2, −3), B(2, m, 1) y C(5, 3, −2) estén alineados.

VECTORES EN R3

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

Componentes de un vector en el espacio

Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

= (x2 - x1, y2 – y1, z2 – z1)

Otra forma de representar un vector es = (x2 - x1)i +( y2 – y1)j +( z2 – z1)k

Suma y resta de vectores

Para sumar o restar dos vectores se suman o se restan sus respectivas componentes. Sean los vectores U=(u1,u2,u3) y V=(v1,v2,v3) entonces:

U+V= (u1+ v1 u2 + v2,u3+ v3) y U – V = (u1 - v1 ,u2 - v2,u3 - v3)

Regla del paralelogramo

Producto de un número real por un vector

El producto de un número real k por un vector es otro vector. De igual dirección que el vector . Del mismo sentido que el vector si k es positivo. De sentido contrario del vector si k es negativo. De módulo

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

Producto punto

El producto punto o producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar sus respectivas componentes y sumarlas.

Sean los vectores U=(u1,u2,u3) y V=(v1,v2,v3) producto punto U.V es:

Módulo de un vector

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define, es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.

Dado el vector el módulo de éste es:

Vector unitario

Un vector unitario tiene de módulo la unidad, La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo.

Vectores perpendiculares u ortogonales (U┴V)

Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0.

Sean los vectores U= (u1,u2,u3) y V=(v1,v2,v3) U y V son ortogonales si:

= 0

Vectores paralelos (U// V)

Dos vectores son paralelos cuando tienen la misma dirección. Sean los vectores U= (u1,u2,u3) y V=(v1,v2,v3) U y V son paralelos si: u1= α v1, u2= α v2

y u3= α v3. Además para que dos vectores sean paralelos, sus componentes tienen que ser proporcionales: α =

Tres puntos están alineados cuando los vectores que determinan son paralelos

Ejercicios:

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