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Geometria en el Espacio


Enviado por   •  10 de Abril de 2017  •  Apuntes  •  11.139 Palabras (45 Páginas)  •  176 Visitas

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GEOMETRÍA EN EL ESPACIO

GEOMETRIA DEL ESPACIO:

Definición: es la rama de la geometría que se ocupa de estudiar los puntos, rectas, planos, propiedades y medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional.

Espacio: es el ambiente que nos rodea. También se lo puede entender como el conjunto de puntos, en el cual hay algunos subconjuntos llamados rectas y otros subconjuntos llamados planos.

Elementos de la geometría del espacio:

Punto: es la mínima porción de figura que puede existir en la geometría, no solo en la del espacio sino también en la plana. No tiene dimensiones.

Recta: si todos los puntos, al unirlos, tienen la misma dirección entonces la línea formada es una recta. Esta es infinita porque sus extremos son ilimitados y en ella hay infinitas puntos.

Plano: es una superficie infinita, formada por infinitos puntos que siguen una misma dirección, por ende hay rectas que quedan incluidas en ella.

Solido: pueden tener diferentes formas o figuras y se pueden originar de varias maneras: por medio de la traslación de un plano, por medio de la rotación o revolución de un plano.

      Punto                    Recta                                  Plano                    Solido[pic 2]

  • A                                                                                                               cilindro[pic 3][pic 4][pic 5]

Postulados característicos del plano:

Postulado I: a una recta pertenecen infinitos planos.[pic 6]

  a  α, β, γ, δ,…                         [pic 7]

Postulado II: una recta y un punto no perteneciente a ella determinan un plano al cual pertenecen.[pic 8][pic 9][pic 10]

  a  y A  a determinan un plano α                       [pic 11][pic 12]

Postulado III: la recta determinada por dos puntos cualesquiera de un plano pertenece a dicho plano.[pic 13][pic 14]

A   α, B  α  AB  α                                           [pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20]

Por lo tanto decir que la recta AB pertenece al plano α significa que todos sus puntos pertenecen a dicho plano.

Postulado IV: toda recta  a de un plano αlo divide en dos partes llamadas semiplanos en cada uno de los cuales existen infinitos puntos, tales que:

                                 [pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

  1. Todo punto del plano que no esté en la recta  a pertenece a uno de los dos semiplanos.
  2. Dos puntos de distintos semiplanos determinan un segmento que corta a la recta  a.
  3. Dos puntos de un mismo semiplano determinan un segmento que no corta a la recta a.

Postulado V: todo plano α divide al espacio en dos partes llamadas semiespacios, en cada una de las cuales existen infinitos puntos tales que:

                                                [pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54]

  1. Todo punto del espacio que no está en el plano α pertenece a uno de los dos semiespacios.
  2. Dos puntos de distintos semiespacios determinan un segmento que corta al plano α.
  3. Dos puntos de un mismo semiespacio determinan un segmento que no corta al plano α.

Teoremas referentes a la determinación del plano:

Teorema I: tres puntos no pertenecientes a una misma recta determinan un plano al cual pertenecen.

H) A, B y C  a una misma recta                                      [pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59]

T) A, B y C determinan αal cual pertenecen[pic 60][pic 61][pic 62]

D) como A y B determinan q por postulado III[pic 63][pic 64]

Resulta que q y C determinan α por postulado II

Teorema II: dos rectas que se cortan determinan un plano al cual pertenecen.

H) a y b determinan A                                                              [pic 65]

T) a y b determinan αal cual pertenecen [pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70][pic 71]

D) tomando en b un punto cualquiera B distinto de A [pic 72][pic 73][pic 74]

Resulta que α y B determinan α por postulado II

Y b α por estar A y B  en dicho plano por postulado III

Posiciones relativas de dos rectas del espacio:

Dos rectas            a un mismo plano       se cortan [pic 75][pic 76]

                                                                   son paralelas

Del espacio            a un mismo plano           SON ALBEADAS[pic 77]

Restas Secantes                            Rectas Paralelas                          Rectas Albeadas[pic 78]

[pic 79][pic 80][pic 81][pic 82][pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87][pic 88][pic 89][pic 90]

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