Guia de calculo diferencial

Tomado del Libro: Cálculo Diferencial. Jorge Saenz

Elaborado el material: Profesora María Morales

UNIDAD I. INTRODUCCION AL SISTEMA DE NÚMEROS REALES. PROPIEDADES  DE LOS NÚMEROS REALES.

El sistema de números reales consiste en un conjunto de elementos denominados números reales y de dos operaciones conocidas como adición y multiplicación. El conjunto de los números reales se representa por . La operación de la adición se representa por + y la multiplicación por *. Si a y b son elementos del conjunto R1,  designa la suma de a y b, y  el producto. La operación de la sustracción se define como la ecuación:[pic 1][pic 2][pic 3]

[pic 4]

donde –b representa el negativo de b, tal que . La operación de la división se define como la ecuación [pic 5]

[pic 6]

donde  representa el reciproco de b, tal que .[pic 7][pic 8]

El sistema de los números reales se puede describir completamente por un conjunto de axiomas. (Se enunciaran más adelante)

Definición.

Si  [pic 9]

1.  si y sólo si  es positivo.[pic 10][pic 11]
2.  si y sólo si  es positivo.[pic 12][pic 13]

Definición.

Si [pic 14]

1.  si y sólo si [pic 15][pic 16]
2. si y sólo si [pic 17][pic 18][pic 19]

Los enunciados se conocen como desigualdades ()[pic 20]

Lcda. María Morales

Ejercicios Propuestos.

1. Probar la proposición dada.

1. [pic 21]
2. [pic 22]

UNIDAD I. INECUACIONES Y DESIGUALDADES

Teorema 1.

1. si y sólo si  es positivo.[pic 23][pic 24]
2.  si y sólo si es negativo.[pic 25][pic 26]

Un numero x que se encuentre entre a y b si  y . Esto puede escribirse como desigualdad continua:[pic 27][pic 28]

[pic 29]

Teorema 2.

1. Si , entonces [pic 30][pic 31]
2. Si  entonces [pic 32][pic 33]

Teorema 3.

Si  y si  y , entonces .[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

Teorema 4.

Supóngase que [pic 38]

1. Si , entonces.[pic 39][pic 40]
2. Si  y  entonces[pic 41][pic 42][pic 43]
3. Si y , entonces[pic 44][pic 45][pic 46]

Teorema 5.

Supóngase que [pic 47]

1. Si , entonces [pic 48][pic 49]
2. Si  y , entonces [pic 50][pic 51][pic 52]
3. Si  y , entonces [pic 53][pic 54][pic 55]

Lcda. María Morales

Teorema 6.

Si  y , entonces .[pic 56][pic 57][pic 58]

Identifiquemos a  con el eje, y se llamará a  recta numérica o recta de los números reales.[pic 59][pic 60]

[pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67][pic 68][pic 69][pic 70]

-4       -3       -2       -1       0       1       2       3       4  

• El conjunto de todos los números  que cumplen la desigualdad continua  se denomina intervalo abierto y se denota porpor lo tanto, [pic 71][pic 72][pic 73]

[pic 74]

• El intervalo cerrado de  y  es el intervalo  junto con los puntos extremos  y  y se simboliza por  Así,  [pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80]

[pic 81]

• El intervalo semi-abierto por la izquierda es el intervalo abierto  junto con el punto extremo derecho b. Esto es, [pic 82][pic 83]

[pic 84]

• El intervalo semi-abierto por la derecha, de la misma manera lo denotamos por : [pic 85]

[pic 86]

Axiomas de la adición.

        A1. . (clausura)[pic 87]

        A2. , para todo . (Ley asociativa)[pic 88][pic 89]

        A3. , , que denotaremos por  tal que [pic 90][pic 91][pic 92]

 (Inverso aditivo)[pic 93]

        A5.   ( Ley conmutativa)[pic 94][pic 95]

Definición. Diferencia  [pic 96][pic 97]

Axiomas de la multiplicación.

        M1. . (clausura)[pic 98]

        M2., . (Ley asociativa)[pic 99][pic 100]

        M3. , tal que  y , . (Elemento identidad)[pic 101][pic 102][pic 103][pic 104]

Lcda. María Morales

        M4. , , ,  tal que[pic 105][pic 106][pic 107]

 (Inverso multiplicación)[pic 108]

        M5. ,  ( Ley conmutativa)[pic 109][pic 110]

Definición. Cociente [pic 111]

Axioma Distributiva.

        D1. , . (Ley distributiva)[pic 112][pic 113]

1. Ejemplo. Probar que , [pic 114][pic 115]

Solución:

, por (A3)[pic 116]

, multiplicando por a en ambos lados[pic 117]

, por D1[pic 118]

 sumando  en ambos lados[pic 119][pic 120]

, por A2[pic 121]

 por A4[pic 122]

 por A3[pic 123]

NOTA: los intervalos se emplean para representar conjuntos de soluciones de desigualdades en una variable.

1. Ejemplo. Resolver la siguiente ecuación.

[pic 124]

Solución:

La ecuación dada se puede resolver de forma directa, es decir, nos preguntamos dos números que al multiplicarlos den como resultado 8, esto son, 4*2=8, y luego que signo debería tener cada uno para que al sumarlo o restarlo dependiendo de los signos den como resultado el – 2, esto es,  – 4 + 2 = – 2. Por lo tanto,      

Lcda. María Morales

[pic 125]

                                                                   [pic 126]

                                                       [pic 127]

Resolución de desigualdades.

1. Resolver la desigualdad: .[pic 128]

Solución:

, sumando 15 en ambos lados[pic 129]

                         , cancelando términos iguales[pic 130]

                         , restando 2x en ambos lados[pic 131]

                         , cancelando términos iguales[pic 132]

                         , signos diferentes se restan y prevalece el signo del mayor[pic 133]

                         , multiplicando en ambos lados por [pic 134][pic 135]

                         , simplificando[pic 136]

Luego, el conjunto solución de la desigualdad es el intervalo abierto: .[pic 137]

NOTA: es abierto ya que la desigualdad es estricta.

MÉTODOS PARA RESOLVER UNA DESIGUALDAD

1. Resolver la desigualdad: .[pic 138]

Solución:

, sumando 2 en ambos lados[pic 139]

                             , cancelando términos iguales[pic 140]

                             , restando 3x en ambos lados[pic 141]

    10, cancelando términos iguales[pic 142]

                             , restando 10 en ambos lados[pic 143]

                             , cancelando términos iguales.[pic 144]

Observemos que el resultado es un polinomio con potencia cuadrada, por ende debemos factorizarlo, en esta oportunidad usaremos la ecuación de segundo grado para recordar esta forma de factorización, la cual viene dada por:

...