Hiperbola

LA HIPÉRBOLA

LA HIPERBOLA

Definición.

Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de manera tal que el valor absoluto de la diferencia a dos puntos fijos del plano, llamados FOCOS, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.

La definición de la hipérbola excluye el caso en que el punto móvil se mueva sobre la recta que pasa por los focos a excepción del segmento comprendido entre ellos.

Los focos y el punto medio de este segmento no pueden pertenecer al lugar geométrico.

Cabe mencionar, la estrecha analogía que existe entre las definiciones de la hipérbola y elipse.

La hipérbola consta de dos ramas diferentes, cada una de longitud infinita.

En la figura se ha dibujado una porción de cada una de estas ramas; los focos están designados por F y F´. La recta que pasa por los focos tiene varios nombres; como para la elipse conviene introducir el término EJE FOCAL, para designar esta recta. El eje focal corta a la hipérbola en dos puntos V y V´, llamados VÉRTICES. La porción de eje focal comprendido entre los vértices, el segmento VV´, se llama EJE TRAVERSO. El punto medio C del eje transverso se llama CENTRO.

La recta l´ que pasa por C y es perpendicular al eje focal l tiene varios nombres; nosotros, como lo hicimos para la elipse, consideramos conveniente introducir el término EJE NORMAL para esta recta. El eje normal l´ no corta a la hipérbola; sin embargo, una porción definida de este eje, el segmento AA´, que tiene C por punto medio, se llama EJE CONJUGADO. La longitud del eje conjugado se dará en el siguiente artículo. El segmento que une dos puntos diferentes cualesquiera de la hipérbola se llama CUERDA; estos puntos pueden ser ambos de la misma rama, como para la cuerda BB´, o uno de una rama y el otro de la otra, como para el eje transverso VV´.

En particular, una cuerda que pasa por un foco, tal como EE´ se llama CUERDA FOCAL. Una cuerda focal tal como LL´, perpendicular al eje focal l se llama LADO RECTO. Una cuerda que pasa por C, tal como DD´, se llama DIÁMETRO. Si P es un punto cualquiera de la hipérbola, los segmentos FP y F´P que unen los focos con el punto P se llaman RADIOS VECTORES de P.

Primera Ecuación ordinaria de la Hipérbola

Consideremos la hipérbola de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje x. Los focos F y F´ están entonces sobre el eje x. Como el centro 0 es el punto medio del segmento FF´, las coordenadas de F y F´ serán (C,0) y (-C,0), respectivamente, siendo C una constante positiva. Sea P (x,y) un punto cualquiera de la hipérbola. Entonces, por la definición de la hipérbola, el punto P debe satisfacer la condición geométrica siguiente, que expresa que el valor absoluto de la diferencia de las distancias del punto a los focos es una cantidad constante, en donde a es una constante positiva y 2a es mayor 2c. La condición geométrica (1) es equivalente a las dos relaciones.

La relación (2) es verdadera cuando P está sobre la rama izquierda de la hipérbola; la relación (3) se verifica cuando P está sobre la rama derecha.

Por el teorema 2, Articulo 6, tenemos de manera que la condición geométrica (1) está expresada analíticamente por correspondiendo las ecuaciones (4) y (5) a las relaciones (2) y (3), respectivamente.

Por el mismo procedimiento usado al transformar y simplificar la ecuación (2) del Articulo 61 para la elipse, podemos demostrar que las ecuaciones (4) y (5) se reducen cada una a ---------

Por ser c- a, c2 – a2 es un número positivo que podemos designar por B2. Por tanto, sustituyendo en la ecuación (6) la relación---------, obtenemos-------- que puede escribirse en la forma--------

Podemos demostrar recíprocamente, que si P(x,y) es un punto cualquiera cuyas coordenadas satisface la condición geométrica (1) y, por lo tanto, está sobre la hipérbola. Luego la ecuación (8) es la ecuación de la hipérbola.

Estudiemos ahora la ecuación (8) de acuerdo con el Artículo 19. Las intersecciones con el eje X son a y –a. Por tanto, las coordenadas de los vértices V y V son (a, 0) y (-a,0), respectivamente, y la longitud del eje transverso es igual 2ª, que es la constante que intervienen en la definición. Aunque no hay intersección con el eje Y, dos puntos, A(O,b) y A´(0, -b), se toman como extremos del eje conjugado. Por tanto, la longitud del eje conjugado es igual a 2b.

La ecuación (8) muestra que la hipérbola es simétrica con respecto a ambos ejes coordenados y al origen.

Despejando y de la ecuación (8), resulta -----------

Por tanto, para que los valores de y sean reales, x está restringida a variar dentro de los intervalos x- a y x- a. De aquí que ninguna porción del lugar geométrico aparece en la región comprendida entre las rectas x= a y x=-a.

Despejando x de la ecuación (8) se obtiene-----------de las cual vemos que x es real para todos los valores reales de y.

Según esto, las ecuaciones (9) y (10), juntas, con la simetría del lugar geométrico, muestra que la hipérbola no es una curva cerrada sino que consta de dos ramas diferentes, una de las cuales se extiende indefinidamente hacia la derecha, arriba y abajo del eje X, y la otra se extiende indefinidamente hacia la izquierda y por arriba y abajo del eje X.

La hipérbola (8) no tiene asíntotas verticales ni horizontales. En el siguiente artículo demostraremos, sin embargo, que la curva tiene dos asíntotas oblicuas.

De la ecuación (9) y de la relación (7), hallamos que la longitud de cada lado recto es-----

Como para la elipse, la excentricidad e de una hipérbola está definida por la razón ---- Por tanto, de (7), tenemos---------- como c mayo a, la excentricidad de una hipérbola es mayor que la unidad.

Si el centro de la hipérbola, está en el origen pero su eje focal coincide con el eje Y, hallamos, análogamente, que la ecuación de la hipérbola es -------------

La discusión completa de la ecuación (12) se deja al estudiante.

Las ecuaciones (8) y (12) las llamaremos primera ecuación ordinaria de la hipérbola. Son las más simples de esta curva por lo que nos referimos a ella como formas canónicas.

Los resultados precedentes se resumen en el siguiente

TEOREMA 1: La ecuación de la hipérbola de centro en el origen, eje focal coincidente con el eje X, y focos los puntos (e,0) y (-e,0), es ------------------, si el eje focal coincidente con el eje Y, de manera que las coordenadas de los focos sean (0,c) y (0, -c), entonces la ecuación es --------------

Para cada hipérbola, a es la longitud del semieje transverso, b la del semieje conjugado, c la

...