LA HIPÉRBOLA

LA HIPÉRBOLA.

111.- Pasar a la forma general [(Ax2+By2+Cx+Dy+E=0)] la ecuación ordinaria , correspondiente a una hipérbola.

Eliminemos los denominadores y desarrollemos los cuadrados:

4(x-2)2-9(y+3)2=36

4(x2-4x+4)-9(y2+6y+9)=36

4x2-16x+16-9y2-54y-81=36

4x2-9y2-16x-54y-101=0

SOLUCION:

La ecuación de la forma general queda:

4x2-9y2-16x-54y-101=0

112.- Pasar a la forma general [(Ax2+By2+Cx+Dy+E=0)] la ecuación ordinaria , correspondiente a una hipérbola.

Eliminemos los denominadores y desarrollemos los cuadrados:

9(y-2)2-4(x+3)2=36

9(y2-4y+4)-4(x2+6x+9)=36

9x2-36y+36-4x2-24y-36=36

4x2-9y2+24x+36y+36=0

SOLUCION:

La ecuación de la forma general queda:

4x2-9y2+24x+36y+36=0

113.- Pasar a la forma canónica , la ecuación general 9x2-4y2-36x+8y-4=0, correspondiente a una hipérbola.

Agrupamos términos comunes:

(9x2-36x)+(-4y2+8y)=4

Completamos los cuadrados, factorizando primero el coeficiente de 9 para x –4 para y:

9(x2-4x)-4(y2-2y)=4

9(x2-4x+(-4/2)2)-4(y2-2y+(-2/2)2)=4+9(-4/2)2-4(-2/2)2

9(x-2)2-4(y-1)2=4+36-4

36.

37. 36

SOLUCION:

La ecuación de la forma canónica queda:

114.- Pasar a la forma canónica , la ecuación general -25x2+16y2+50x-64y-361=0, correspondiente a una hipérbola.

Agrupamos términos comunes:

(-25x2+50x)+(16y2-64y)=361

Completamos los cuadrados, factorizando primero el coeficiente de -25 para x 16 para y:

-25(x2+2x)+16(y2-4y)=361

-25(x2+2x+(2/2)2)+16(y2-4y+(-4/2)2)=361-25(2/2)2+16(-4/2)2

-25(x-2)2+16(y-1)2=400

• • 400 400

SOLUCION:

La ecuación de la forma canónica queda:

115.- Escribir una ecuación de la hipérbola que tiene su centro en el origen de un sistema de coordenadas cartesianas, uno de sus vértices en V(-3,0) y uno de sus focos en F(5,0).

C(0,0) Centro en el origen del sistema de coordenadas

V(-3,0) Vértice

F(5,0) Foco

Entonces como su centro es en el origen deducimos o sabemos que el otro vértice está en las coordenadas:

V’(3,0)

Y el otro foco está en las coordenadas:

F’(-5,0)

La ecuación es de la forma porque el eje focal está en el eje X, entonces:

Distancia entre vértices  2a=6  a=3

Distancia entre focos  2c=10  c=5

Sabemos que c2=a2+b2 entonces:

52=32+b2  25=9+b2  b2=25-9  b2=16  b=4

Sustituyendo en la forma canónica tenemos la ecuación:

SOLUCION:

La ecuación de la hipérbola de la forma canónica es:

y de la forma general queda:

16x2-9y2-144=0

116.- Escribir una ecuación de la hipérbola que tiene su centro en el punto C(-3,2), uno de sus focos en F(-3,6) y uno de sus vértices en V(-3,-1).

C(-3,2) Centro fuera del origen del sistema de coordenadas C(h,k)

F(-3,6) Foco

V(-3,-1) Vértice

El eje focal es paralelo al eje de las ordenadas (EJE Y) entonces por eso sabemos que la forma canónica de la ecuación es:

La distancia del vértice al Centro es a, entonces:

2-(-1)=3  a=3

La distancia del foco al Centro es c, entonces:

6-2=4  c=4

Para encontrar b usemos la ecuación:

c2=a2+b2

42=32+b2

b2=16-9

b2=7

Sustituimos a2 b2 h=-3 y k=2 en la forma canónica de la hipérbola escrita anteriormente:

SOLUCION:

La ecuación de la hipérbola de la forma canónica queda:

y de la forma general queda:

9x2-7y2+54x+28y+116=0

117.- Escribir una ecuación de la hipérbola que tiene su centro en el origen de un sistema de coordenadas, pasa por el punto P(3,3) y uno de sus vértices se localiza en V(0,1).

C(0,0) Centro en el origen del sistema de coordenadas

V(0,1) Vértice

P(3,3) Punto P por el que pasa la hipérbola

Entonces podemos conocer la distancia del vértice al centro:

1-0=1  esta distancia es a por lo tanto  a=1

El eje focal está sobre el eje Y, entonces la ecuación es de la forma:

Sustituimos en la ecuación anterior P(x,y)  P(3,3) y a=1, por lo tanto:

Sustituimos a2=1 b2=9/8 en la ecuación:

SOLUCION:

La ecuación de la hipérbola de la forma canónica queda:

Y la ecuación de la forma general queda:

(9/8)y2-x2-9/8=0

118.- Determinar una ecuación de la hipérbola que tiene uno de sus vértices en el punto V(0,5) y un extremo de su eje conjugado en el punto E(3,0).

V(0,5)

Extremo del eje conjugado E(3,0)

Podemos considerar como centro el punto de coordenadas C(0,0) porque éste es el punto en el que se cruzan las líneas que pasan por el vértice V(0,5) y E(3,0)

Entonces la ecuación de la hipérbola es de la forma:

El otro extremo del eje conjugado es E’(-3,0)

El valor de a lo conocemos por la distancia entre uno de los vértices y el centro, entonces:

a=5

La distancia entre los extremos del eje conjugado es igual al lado recto, entonces:

LR=3+3=6

6=2b2/a  a=5  6=2b2/5  30=2b2  15=b2

Finalmente sustituimos a2 y b2 en la ecuación y nos queda:

SOLUCION:

La ecuación de la hipérbola queda:

Y de la forma general queda:

15y2-25x2-325=0

119.- Determinar una ecuación de la hipérbola que pasa por el punto de coordenadas (2,8), si uno de sus vértices está en V(0-4), su centro coincide con el origen del sistema de coordenadas y su eje focal es perpendicular al eje de las abscisas.

V(0,-4) Vértice

C(0,0) Centro en el origen del sistema de coordenadas

P(2,8) Punto por el que pasa la hipérbola

El eje focal es perpendicular al je de las abscisas, eje X

Entonces por lo anterior podemos saber que la ecuación es de la forma:

Ahora encontramos a por la distancia del vértice al centro, por lo tanto:

a=4

Como tenemos el punto P(2,8) y sabemos que la gráfica pasa por ese punto, y que a=4, sustituimos x, y, a en la ecuación, entonces encontramos b2:

a=4  a2=16

Entonces

...