La Hiperbola

Introducción

En el presente trabajo de investigación que realizamos podemos dar a conocer sobre la ecuación de la hipérbola para poder resolver problemas cotidianos, en donde informaremos una definición de manera adecuada; encontraremos algunas clasificaciones, procedimientos y reglas para utilizar en el campo de la construcción, también analizaremos sobre el estudio de la ecuación hiperbólica.

Esperamos que dicha investigación nos ayude a examinar e intuir mejor en el tema donde emanaremos a comunicar a orientar lo adquirido

La Hipérbola

La hipérbola, se origina al cortar el cono con un plano que no pase por el vértice y cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono es menor que el de la generatriz del cono.

La Hipérbola como lugar geométrico:

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

Elementos de la Hipérbola

En toda Hipérbola conviene considerar:

Y: Es el eje secundario de la hipérbola y es la mediatriz del eje focal.

X: Es el eje focal de la hipérbola.

F y F´: Son los focos de la hipérbola.

A y A´: Son los vértices de la hipérbola.

O: Es el centro de la hipérbola.

P: Es un punto de la hipérbola.

PF y PF´: Son los radios vectores de la hipérbola.

Ecuación de la hipérbola con centro en el origen de los ejes coordenados.

Consideramos la hipérbola con centro en el origen O y cuyo eje focal coincide con el eje x. Los focos estarán, por lo tanto, sobre el eje x.

Como o es el punto medio entre los focos, las coordenadas de ellos serán: F_1(-c, 0), con c una constante positiva.

Las coordenadas de los vértices serán: V_1 (-a,0) y V_2 (a,0).

2a: longitud del eje transverso.

2b: longitud del eje conjugado.

2c: distancia entre los focos.

Sea P (x, y) un punto cualquiera sobre la hipérbola.

Basándonos en la definición de hipérbola y haciendo la diferencia de las distancias de P a los focos igual 2a podemos escribir que:

d(PF_2 )-d(PF_1 )=±2a Dónde:

a>0 Y 2a<2c

La diferencia 2a será positiva si P está en la rama de la izquierda de la hipérbola y negativa si P está ubicado en la rama de la derecha.

Aplicando la ecuación de la distancia entre dos puntos podemos escribir:

√((x+c)^2+y^2 )-√((x-c)^2+y^2 )=±2a

Si transponemos el radical sustraendo nos queda:

√((x+c)^2+y^2 )=±2a+√((x-c)^2+y^2 )

Debemos resolver la ecuación irracional elevando al cuadrado los dos miembros, quedándonos:

(x+c)^2+y^2=4a^2+4a√((x-c)^2+y^2 )+(x-c)^2+y^2

Desarrollando y simplificando:

x^2+2cx+c^2+y^2=4a^2+4a√((x-c)^2+y^2 )+x^2-2xc+c^2+y^2

4cx-4a^2=4a√((x-c)^2+y^2 )

Tomando factor común 4 en el primer miembro se tiene que:

4(cx-a^2 )=4a√((x-c)^2+y^2 )

Si dividimos ambos miembros por 4:

(cx-a^2 )=a√((x-c)^2+y^2 )

Elevando, nuevamente, ambos miembros al cuadrado:

(cx-a^2 )^2=a^2 [(x-c)^2+┤ ├ y^2 ]┤

Si desarrollamos la expresión anterior se tiene que:

c^2 x^2-2a^2 cx+a^4=a^2 (x^2-2cx+c^2+y^2)

c^2 x^2-2a^2 cx+a^4=a^2 x^2-2a^2 cx+a^2 c^2+a^2 y^2

Al simplificar nos queda:

c^2 x^2 〖+a〗^4=a^2 x^2+a^2 c^2+a^2 y^2

Agrupando:

c^2 x^2-a^2 x^2-a^2 y^2=-a^4+a^2 c^2

Factorizando:

x^2 (c^2-a^2 )-a^2 y^2=a^2 (c^2-a^2 )……(1)

Como c>a c^2>a^2 c^2-a^2>0

Si la expresión c^2-a^2 la representamos por b^2, el cuál siempre es positivo, nos queda que b^2=c^2-a^2

Reemplazando en la expresión (I) el valor de b^2 obtenemos:

x^2 b^2-a^2 y^2=a^2 b^2

Dividiendo cada miembro entre a^2 b^2 nos queda:

x^2/a^2 -y^2/b^2 =1

Ésta es la ecuación de la hipérbola en su forma canónica, con centro en el origen y el eje focal paralelo al eje x.

De igual forma es posible obtener la ecuación siguiente:

y^2/a^2 -x^2/b^2 =1

Ésta es la ecuación de la hipérbola en su forma canónica, con centro en el origen y el eje focal paralelo al eje y.

Si el eje focal es paralelo al eje x, entonces x^2 y su divisor están precedidos del signo más (+).

Si el eje focal es paralelo al eje y, entonces y^2 y su divisor están precedidos del signo más (+).

Ejercicio #1

Los vértices de una hipérbola son los puntos V_1 (-4,0) y V_2 (4,0) y sus focos vienen dados por los puntos F_1 (-5,0) Y F_2 (5,0). Escribir la ecuación de la hipérbola

Solución.

De acuerdo a las coordenadas de los vértices y de los focos nos damos cuenta que la hipérbola tiene su eje focal sobre el eje x. De acuerdo a esto la ecuación deber ser de la forma: x^2/a^2 -y^2/b^2 =1

Como el vértice V_2 (4,0) y F_2 (5,0) se deduce que a=4 y c=5

Como c^2=a^2+b^2

b^2=25-16 b^2=9 b=3

Y a=4 c=5

Podemos escribir la ecuación pedida de la hipérbola así:

x^2/16-y^2/9=1

Lado recto de una hipérbola

Hemos definido al lado recto de la hipérbola como la cuerda que pasa por el foco y es perpendicular al eje focal. Cuando lo medimos obtenemos el ancho focal de dicha curva.

Determinemos la ecuación que nos permita determinar el ancho focal.

Partimos de la ecuación de la hipérbola en su forma canónica

x^2/a^2 -y^2/b^2 =1

En ella hagamos x=c, obteniéndose

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